a: Xét tứ giác OBAC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
=>O,B,A,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC và AO là phân giác của góc BAC
AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại M và M là trung điểm của BC
Xét ΔOMN vuông tại M và ΔOHA vuông tại H có
\(\hat{MON}\) chung
Do đó: ΔOMN~ΔOHA
=>\(\frac{OM}{OH}=\frac{ON}{OA}\)
=>\(OM\cdot OA=OH\cdot ON\)
c:Ta có: \(\hat{ABI}+\hat{OBI}=\hat{OBA}=90^0\)
\(\hat{MBI}+\hat{OIB}=90^0\) (ΔBMI vuông tại M)
mà \(\hat{OBI}=\hat{OIB}\) (ΔOBI cân tại O)
nên \(\hat{ABI}=\hat{MBI}\)
=>BI là phân giác của góc ABM
Xét ΔMAB có
BI,AM là các đường phân giác
BI cắt AM tại I
Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔMAB
