Bài 15:
a: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(m+1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot2m\)
\(=4\left(m+1\right)^2-8m=4\left(m^2+2m+1-2m\right)=4\left(m^2+1\right)>0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b: Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m+1\right);x_1x_2=\frac{c}{a}=2m\)
Để x1,x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là \(\sqrt{12}\) thì \(x_1^2+x_2^2=12\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=12\)
=>\(\left(2m+2\right)^2-2\cdot2m=12\)
=>\(4m^2+8m+4-4m=12\)
=>\(4m^2+4m-8=0\)
=>\(m^2+m-2=0\)
=>(m+2)(m-1)=0
=>m=-2 hoặc m=1
Bài 16:
\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(2m-3\right)\)
\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(2m-3\right)\)
\(=4\left(m^2-2m+1-2m+3\right)=4\left(m^2-4m+4\right)=4\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
Theo Vi-et, ta có:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-1\right);x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-3\)
x1,x2 là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài đường chéo là \(\sqrt{10}\)
=>\(x_1^2+x_2^2=10\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\)
=>\(\left(2m-2\right)^2-2\left(2m-3\right)=10\)
=>\(4m^2-8m+4-4m+6=10\)
=>\(4m^2-12m=0\)
=>4m(m-3)=0
=>m(m-3)=0
=>m=0 hoặc m=3
