a: Xét (O) có
MB,MA là các tiếp tuyến
Do đó: MB=MA; OM là phân giác của góc AOB; MO là phân giác của góc BMA
Xét (O') có
MA,MC là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MC; O'M là phân giác của góc AO'C; MO' là phân giác của góc AMC
Ta có: MA=MB
MA=MC
Do đó: MB=MC
=>M là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
\(AM=\frac{BC}{2}\)
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>AB⊥ AC tại A
ΔOAB cân tại O
mà OM là đường phân giác
nên OM⊥AB tại E và E là trung điểm của AB
ΔO'AC cân tại O'
mà O'M là đường phân giác
nên O'M⊥AC tại F và F là trung điểm của AC
Xét tứ giác AEMF có \(\hat{AEM}=\hat{AFM}=\hat{FAE}=90^0\)
nên AEMF là hình chữ nhật
b: Xét ΔMAO vuông tại A có AE là đường cao
nên \(ME\cdot MO=MA^2\left(1\right)\)
Xét ΔMAO' vuông tại A có AF là đường cao
nên \(MF\cdot MO^{\prime}=MA^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(ME\cdot MO=MF\cdot MO^{\prime}\)
c: Xét (M) có
MA là bán kính
O'O⊥MA tại A
Do đó: O'O là tiếp tuyến tại A của (M)
=>O'O là tiếp tuyến của đường tròn BC
d: AEMF là hình chữ nhật
=>\(\hat{EMF}=90^0\)
=>MO⊥MO' tại M
Gọi N là trung điểm của O'O
=>N là tâm đường tròn đường kính O'O
ΔMO'O vuông tại M
mà MN là đường trung tuyến
nên NM=NO=NO'
=>M nằm trên (N)
Xét hình thang OBCO' có
M,N lần lượt là trung điểm của BC,O'O
=>MN là đường trung bình của hình thang OBCO'
=>MN//OB//O'C
=>MN⊥BC tại M
Xét (N) có
NM là bán kính
BC⊥NM tại M
Do đó: BC là tiếp tuyến của (N)
=>BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính O'O
