1: H' đối xứng H qua BC
=>BC là đường trung trực của H'H
=>BH=BH'; CH=CH'
Xét ΔBHC và ΔBH'C có
BH=BH'
CH=CH'
BC chung
Do đó: ΔBHC=ΔBH'C
=>\(\hat{BHC}=\hat{BH^{\prime}C}\)
mà \(\hat{BHC}=\hat{EHF}\) (hai góc đối đỉnh)
nên \(\hat{EHF}=\hat{BH^{\prime}C}\)
Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>\(\hat{EHF}+\hat{EAF}=180^0\)
=>\(\hat{BH^{\prime}C}+\hat{BAC}=180^0\)
=>ABH'C là tứ giác nội tiếp
=>H' nằm trên (O)
2: Bổ sung đề: M là trung điểm của BC
Vì AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
nên AEHF nội tiếp (N)
=>NE=NF
=>N nằm trên đường trung trực của EF(1)
Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>BFEC nội tiếp (M)
=>ME=MF=MB=MC
ME=MF
=>M nằm trên đường trung trực của EF(2)
Từ (1),(2) suy ra MN là đường trung trực của EF
=>MN⊥EF
3: Qua A, kẻ Ax là tiếp tuyến tại A của (O)
=>OA⊥ Ax tại A
Xét (O) có
\(\hat{xAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AB
\(\hat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB
Do đó: \(\hat{xAB}=\hat{ACB}\)
mà \(\hat{BCA}=\hat{AFE}\left(=180^0-\hat{BFE}\right)\)
nên \(\hat{xAB}=\hat{AFE}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le tron
nên FE//Ax
Ta có: FE//Ax
OA⊥ Ax
Do đó: FE⊥OA
4: Xét tứ giác CEHD có \(\hat{CEH}+\hat{CDH}=90^0+90^0=180^0\overline{}\)
nên CEHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BDHF có \(\hat{BDH}+\hat{BFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BDHF là tứ giác nội tiếp
TA có: \(\hat{EDH}=\hat{ECH}\) (CEHD nội tiếp)
\(\hat{FDH}=\hat{FBH}\) (BFHD nội tiếp)
mà \(\hat{ECH}=\hat{FBH}\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)
nên \(\hat{EDH}=\hat{FDH}\)
=>DH là phân giác của góc EDF
Ta có: \(\hat{FEH}=\hat{FAH}\) (AEHF nội tiếp)
\(\hat{DEH}=\hat{DCH}\) (CDHE nội tiếp)
mà \(\hat{FAH}=\hat{DCH}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)
nên \(\hat{FEH}=\hat{DEH}\)
=>EH là phân giác của góc DEF
Xét ΔDEF có
EH,DH là các đường phân giác
EH cắt DH tại H
Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF
5: Xét (O) có
ΔACA' nội tiếp
A'A là đường kính
Do đó: ΔACA' vuông tại C
=>A'C⊥CA
mà BH⊥CA
nên BH//CA'
Xét (O) có
ΔABA' nội tiếp
A'A là đường kính
Do đó: ΔABA' vuông tại B
=>BA⊥ A'B
mà BA⊥CH
nên CH//A'B
Xét tứ giác CHBA' có
CH//BA'
CA'//BH
Do đó: CHBA' là hình bình hành
=>CB cắt HA' tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HA'
6: Xét ΔAHA' có
O,M lần lượt là trung điểm của A'A,A'H
=>OM là đường trung bình của ΔAHA'
=>AH=2OM
