Question

Answer 1

a: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{1}{a}<>\frac{a}{-2}\)

=>\(a^2<>-2\) (luôn đúng)

\(\begin{cases}x+ay=2\\ ax-2y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=2-ay\\ a\left(2-ay\right)-2y=1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=2-ay\\ 2a-a^2y-2y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=2-ay\\ 2a-y\left(a^2+2\right)=1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=2-ay\\ y\left(a^2+2\right)=2a-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=\frac{2a-1}{a^2+2}\\ x=2-ay=2-\frac{2a^2-a}{a^2+2}=\frac{2a^2+4-2a^2+a}{a^2+2}=\frac{a+4}{a^2+2}\end{cases}\)

x>0; y>0

=>a+4>0 và 2a-1>0

=>a>1/2

b:

(I): Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m}{2}<>\frac{2}{m}\)

=>\(m^2<>4\) (luôn đúng)

\(\begin{cases}mx+2y=m+1\\ 2x+my=2m-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2mx+4y=2m+2\\ 2mx+m^2y=2m^2-m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2mx+m^2y-2mx-4y=2m^2-m-2m-2\\ mx+2y=m+1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y\left(m^2-4\right)=2m^2-3m-2=2m^2-4m+m-2\\ mx+2y=m+1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=\frac{\left(m-2\right)\left(2m+1\right)}{\left(m-2\right)\left(m+2\right)}=\frac{2m+1}{m+2}\\ mx=m+1-2y=m+1-\frac{2\left(2m+1\right)}{m+2}=\frac{m^2+3m+2-4m-2}{m+2}=\frac{m^2-m}{m+2}=\frac{m\left(m-1\right)}{m+2}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=\frac{2m+1}{m+2}\\ x=\frac{m-1}{m+2}\end{cases}\)

Để x,y nguyên thì \(\begin{cases}2m+1\vdots m+2\\ m-1\vdots m+2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2m+4-3\vdots m+2\\ m+2-3\vdots m+2\end{cases}\)

=>-3⋮m+2

=>m+2∈{1;-1;3;-3}

=>m∈{-1;-3;1;-5}

(II): Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m}{1}<>\frac{1}{m}\)

=>\(m^2<>1\)

=>m∉{1;-1}

\(\begin{cases}mx+y=2m\\ x+my=m+1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=m+1-my\\ m\left(m+1-my\right)+y=2m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=m+1-my\\ m^2+m-m^2y+y=2m\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=m+1-my\\ m^2+m+y\left(-m^2+1\right)=2m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y\left(-m^2+1\right)=2m-m^2-m=-m^2+m\\ x=m+1-my\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=\frac{-m\left(m-1\right)}{-\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\frac{m}{m+1}\\ x=m+1-my=m+1-\frac{m^2}{m+1}=\frac{m^2+2m+1-m^2}{m+1}=\frac{2m+1}{m+1}\end{cases}\)

Để x,y nguyên thì m⋮m+1 và 2m+1⋮m+1

=>m+1-1⋮m+1 và 2m+2-1⋮m+1

=>-1⋮m+1

=>m+1∈{1;-1}

=>m∈{0;-2}