Question

Answer 1

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(x+2y+z\ge\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(x+y\right)\)

Do \(x+2y+z=x+y+y+z\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)^2\le4\)

Điều này đúng do:

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)^2\le\dfrac{1}{4}\left(x+2y+z\right)^2\left(z+x\right)^2\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x+2y+z+z+x}{2}\right)^4=4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;0;1\right)\)