\(ĐK:0< x\le4\\ \text{Đặt }\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{2+\sqrt{x}}\\b=\sqrt{2-\sqrt{x}}\end{matrix}\right.\left(a,b\ge0\right)\Leftrightarrow a^2+b^2=4\\ PT\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{\sqrt{2}+a}+\dfrac{b^2}{\sqrt{2}-b}=\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow a^2\sqrt{2}-a^2b+b^2\sqrt{2}+ab^2=2\sqrt{2}+2\left(a-b\right)-ab\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow\sqrt{2}\left(a^2+b^2\right)-ab\left(a-b\right)=2\sqrt{2}+2\left(a-b\right)-ab\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow4\sqrt{2}-ab\left(a-b\right)-2\left(a-b\right)+ab\sqrt{2}=2\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow\sqrt{2}\left(ab+2\right)-\left(a-b\right)\left(ab+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(ab+2\right)\left(\sqrt{2}-a+b\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ab=-2\left(ktm\right)\\a-b=\sqrt{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2+\sqrt{x}}-\sqrt{2-\sqrt{x}}=\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow4-2\sqrt{4-x}=2\\ \Leftrightarrow2\sqrt{4-x}=2\\ \Leftrightarrow4-x=1\Leftrightarrow x=3\left(tm\right)\)
Vậy PT có nghiệm x=3
