a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC; OA là phân giác của góc BOC; AO là phân giác của góc BAC
ΔOBC cân tại O
mà OA là đường phân giác
nên OA⊥BC tại trung điểm của BC
=>OA là đường trung trực của BC
b: ΔOBA vuông tại B
=>\(OB^2+BA^2=OA^2\)
=>\(BA^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)
=>\(BA=R\sqrt3\)
Xét ΔBAO vuông tại B có sin BAO=\(\frac{BO}{OA}=\frac12\)
nên \(\hat{BAO}=30^0\)
AO là phân giác của góc BAC
=>\(\hat{BAC}=2\cdot\hat{BAO}=60^0\)
Xét ΔABC có AB=AC và \(\hat{BAC}=60^0\)
nên ΔABC đều
=>\(C_{ABC}=AB\cdot3=R\sqrt3\cdot3=3R\sqrt3\)
Diện tích tam giác ABC đều là:
\(S_{ABC}=AB^2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\left(R\sqrt3\right)^2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3\cdot R^2}{4}\)
c: Ta có; \(\hat{ABI}+\hat{OBI}=\hat{OBA}=90^0\)
\(\hat{CBI}+\hat{OIB}=90^0\) (BC⊥OI)
mà \(\hat{OBI}=\hat{OIB}\) (ΔOBI cân tại O)
nên \(\hat{ABI}=\hat{CBI}\)
=>BI là phân giác của góc ABC
Xét ΔABC có
BI,AO là các đường phân giác
BI cắt AO tại I
Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
