a: Xét (I) có
ΔDEC nội tiếp
DC là đường kính
Do đó: ΔDEC vuông tại E
=>DE⊥AC tại E
Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHD vuông tại H có
AH chung
HB=HD
Do đó: ΔAHB=ΔAHD
=>\(\hat{HAB}=\hat{HAD}\)
Xét tứ giác AHDE có \(\hat{AHD}+\hat{AED}=90^0+90^0=180^0\)
nên AHDE là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{HED}=\hat{HAD}\)
mà \(\hat{HAD}=\hat{HAB}\)
và \(\hat{HAB}=\hat{ACB}\left(=90^0-\hat{HBA}\right)\)
nên \(\hat{HED}=\hat{ACB}\)
\(\hat{HEI}=\hat{ECD}+\hat{EDC}=90^0\)
=>HE là tiếp tuyến tại E của (I)
b: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC^2=8^2+15^2=64+225=289=17^2\)
=>BC=17(cm)
HI=HD+DI=1/2(BD+DC)=1/2*BC=8,5(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BH\cdot BC=BA^2\)
=>\(BH=\frac{8^2}{17}=\frac{64}{17}\left(\operatorname{cm}\right)\)
H là trung điểm của BD
=>\(BD=2\cdot BH=2\cdot\frac{64}{17}=\frac{128}{17}\left(\operatorname{cm}\right)\)
BD+DC=BC
=>\(CD=17-\frac{128}{17}=\frac{289}{17}-\frac{128}{17}=\frac{161}{17}\) (cm)
=>\(EI=\frac{161}{17}:2=\frac{161}{34}\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔHEI vuông tại E
=>\(EH^2+EI^2=HI^2\)
=>\(EH^2=HI^2-EI^2\)
\(=8,5^2-\left(\frac{161}{34}\right)^2=72,25-\frac{25921}{1156}=\frac{57600}{1156}=\left(\frac{240}{34}\right)^2=\left(\frac{120}{17}\right)^2\)
=>\(EH=\frac{120}{17}\left(\operatorname{cm}\right)\)
