BÀi 1:
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC^2=20^2-12^2=400-144=256=16^2\)
=>AC=16(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>\(AH\cdot20=12\cdot16=192\)
=>AH=192/20=9,6(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có sin B=\(\frac{AC}{BC}=\frac{16}{20}=\frac45\)
nên \(\hat{ABC}\) ≃53 độ
b: Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\) (1)
ΔAHC vuông tại H
=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)
=>\(CA^2-CH^2=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AN\cdot AC=CA^2-CH^2\)
c: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
=>AH=MN
Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(MA\cdot MB=HM^2\)
Xét ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(NA\cdot NC=HN^2\)
AMHN là hình chữ nhật
=>\(HM^2+HN^2=HA^2\)
=>\(HA^2=MA\cdot MB+NA\cdot NC\)
d: Xét ΔBHA vuông tại H có HM là đường cao
nên \(BM\cdot BA=BH^2\)
=>\(BM=\frac{BH^2}{BA}\)
Xét ΔCHA vuông tại H có HN là đường cao
nên \(CN\cdot CA=CH^2\)
=>\(CN=\frac{CH^2}{CA}\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB\)
=>\(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH\cdot CB}{CH\cdot CB}=\frac{BH}{CH}\)
\(\frac{BM}{CN}=\frac{BH^2}{BA}:\frac{CH^2}{AC}\)
\(=\frac{BH^2}{AB}\cdot\frac{AC}{CH^2}=\left(\frac{BH}{CH}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}\)
\(=\frac{AB^4}{AC^4}\cdot\frac{AC}{AB}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^3=\tan^3C\)
Bài 2:
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC^2=12^2+16^2=144+256=400=20^2\)
=>BC=20(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có sin C=\(\frac{AB}{BC}=\frac{12}{20}=\frac35\)
nên \(\hat{C}\) ≃37 độ
ΔABC vuông tại A
=>\(\hat{B}+\hat{C}=90^0\)
=>\(\hat{B}=90^0-37^0=53^0\)
b: Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường cao
nên \(AM\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>\(AM\cdot20=12\cdot16=192\)
=>AM=192/20=9,6(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường cao
nên \(BM\cdot BC=BA^2\)
=>BM=12^2/20=7,2(cm)
c: Xét ΔMAB vuông tại M có ME là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AM^2\) (1)
ΔAMC vuông tại M
=>\(MA^2+MC^2=AC^2\)
=>\(CA^2-CM^2=AM^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=CA^2-CM^2\)
