ΔAPB vuông tại P, đường cao PF nên : AP² = AF.AB (1)
ΔANC vuông tại N, đường cao NE nên : AN² = AE.AC (2)
Lại có Δ vuông ABE ~ Δ vuông ACF ( chung góc A) nên : AB/AE = AC/AF ⇔ AF.AB = AE.AC (3)
Từ (1); (2); (3) ⇒ AN² = AP² ⇔ AN = AN (đpcm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAPB vuông tại P có PF là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AP^2=AF\cdot AB\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔANC vuông tại N có NE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AN^2=AE\cdot AC\left(2\right)\)
Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có
\(\widehat{FAC}\) chung
Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔACF
Suy ra: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)
hay \(AB\cdot AF=AE\cdot AC\left(3\right)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AN=AP
Xét ΔANP có AN=AP
nên ΔANP cân tại A
