a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1), (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)
hay \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH}{CH}\)
\(a,\) Gọi O là giao điểm của AH và MN
Vì AMHN là hình chữ nhật nên \(OA=OH=OM=ON\)
\(\Rightarrow\Delta AOM\) cân tại O
\(\Rightarrow\widehat{OAM}=\widehat{OMA}\)
Mà \(\widehat{OAM}=\widehat{C}\) (cùng phụ \(\widehat{CAH}\))
\(\Rightarrow\widehat{OMA}=\widehat{C}\)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\widehat{OMA}=\widehat{C}\)
\(\widehat{BAC}\) chung
\(\Rightarrow\Delta AMN=\Delta ACB\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\\ \Rightarrow AM\cdot AB=AN\cdot AC\left(đfcm\right)\)
