a: (d): 2(m-2)x+(m-1)y=4
=>(2m-4)x+(m-1)y=4
=>2mx-4x+my-y=4
=>m(2x+y)-4x-y-4=0
Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:
\(\begin{cases}2x+y=0\\ 4x+y+4=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=-2x\\ 4x-2x+4=0\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}2x=-4\\ y=-2x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-2\\ y=-2\cdot\left(-2\right)=4\end{cases}\)
b:
(d): 2(m-2)x+(m-1)y=4
=>(2m-4)x+(m-1)y-4=0
Khoảng cách từ O đến (d) là:
\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|0\cdot\left(2m-4\right)+0\cdot\left(m-1\right)-4\right|}{\sqrt{\left(2m-4\right)^2+\left(m-1\right)^2}}=\frac{4}{\sqrt{\left(2m-4\right)^2+\left(m-1\right)^2}}\)
Để d(O;(d)) lớn nhất thì \(\left(2m-4\right)^2+\left(m-1\right)^2\) nhỏ nhất
Đặt \(A=\left(2m-4\right)^2+\left(m-1\right)^2\)
\(=4m^2-16m+16+m^2-2m+1=5m^2-18m+17\)
\(=5\left(m^2-\frac{18}{5}m+\frac{17}{5}\right)\)
\(=5\left(m^2-2\cdot m\cdot\frac95+\frac{81}{25}+\frac{4}{25}\right)=5\left(m-\frac95\right)^2+\frac45\ge\frac45\forall m\)
Dấu '=' xảy ra khi \(m-\frac95=0\)
=>\(m=\frac95\)
