a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có
\(\widehat{B}\) chung
Do đó: ΔABH\(\sim\)ΔCBA
Suy ra: \(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BH}{BA}\)
hay \(AB^2=BH\cdot BC\)
Xét ΔACH vuông tại H và ΔBCA vuông tại A có
\(\widehat{C}\) chung
Do đó: ΔACH\(\sim\)ΔBCA
Suy ra: \(\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CH}{CA}\)
hay \(AC^2=CH\cdot BC\)
b: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCHA vuông tại H có
\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)
Do đó: ΔAHB\(\sim\)ΔCHA
Suy ra: \(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)
hay \(AH^2=BH\cdot CH\)
c: Ta có: ΔABC vuông tại A
nên \(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\left(1\right)\)
Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC
nên \(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)
d: Ta có: \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)
\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH}=\dfrac{BC}{AB\cdot AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2\cdot AC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2\cdot AC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)
