Bài 65:
a: Xét (I) có
ΔHDB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó; ΔHDB vuông tại D
=>HD⊥AB tại D
Xét (K) có
ΔCEH nội tiếp
CH là đường kính
Do đó: ΔCEH vuông tại E
=>HE⊥AC tại E
Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
b: Gọi O là giao điểm của AH và DE
ADHE là hình chữ nhật
=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và DE
ADHE là hình chữ nhật
=>AH=DE
mà \(OA=OH=\frac{AH}{2};OD=OE=\frac{DE}{2}\)
nên OA=OH=OD=OE
Xét ΔOHI và ΔODI có
OH=OD
HI=DI
OI chung
Do đó: ΔOHI=ΔODI
=>\(\hat{OHI}=\hat{ODI}\)
=>\(\hat{IDE}=90^0\)
=>DE là tiếp tuyến tại D của (I)
Xét ΔKEO và ΔKHO có
KE=KH
OE=OH
KO chung
Do đó: ΔKEO=ΔKHO
=>\(\hat{KEO}=\hat{KHO}\)
=>\(\hat{KEO}=90^0\)
=>\(\hat{KED}=90^0\)
=>ED⊥ EK tại E
=>ED là tiếp tuyến tại E của (K)
c: Diện tích hình thang EDIK là:
\(S_{EDIK}=\frac12\cdot\left(EK+DI\right)\cdot ED\)
\(=\frac12\cdot AH\cdot\left(\frac12HB+\frac12HC\right)=\frac12\cdot\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot S_{ABC}\)
