a: Xét ΔAHB vuông tại H có \(\hat{ABH}=45^0\)
nên ΔHAB vuông cân tại H
=>HA=HB=10
ΔAHB vuông tại H
=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)
=>\(AB^2=10^2+10^2=200\)
=>\(AB=10\sqrt2\)
Xét ΔABC có \(\hat{ABC}+\hat{ACB}+\hat{BAC}=180^0\)
=>\(\hat{ACB}=180^0-45^0-75^0=60^0\)
Xét ΔAHC vuông tại H có sin ACH=\(\frac{AH}{AC}\)
=>\(\frac{10}{AC}=\sin60=\frac{\sqrt3}{2}\)
=>\(AC=\frac{20\sqrt3}{3}\)
c: Gọi I là giao điểm của BH và AC, K là giao điểm của CH và AB
Theo đề, ta có: BH⊥AC tại I và CH⊥AB tại K
Xét ΔAIB vuông tại I và ΔAKC vuông tại K có
\(\hat{IAB}\) chung
Do đó: ΔAIB~ΔAKC
=>\(\frac{AI}{AK}=\frac{AB}{AC}\)
=>\(AI\cdot AC=AK\cdot AB\) (1)
Xét ΔADC vuông tại D có DI là đường cao
nên \(AI\cdot AC=AD^2\left(2\right)\)
Xét ΔAEB vuông tại E có EK là đường cao
nên \(AK\cdot AB=AE^2\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(AD^2=AE^2\)
=>AD=AE
=>ΔADE cân tại A
