\(a=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+...+\dfrac{1}{20^{20}}+\dfrac{1}{2^{21}}\)

\(\Rightarrow2a=2+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{20^{19}}+\dfrac{1}{2^{20}}\)

\(\Rightarrow2a-a=\left(2+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{20^{19}}+\dfrac{1}{2^{20}}\right)-1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+...+\dfrac{1}{20^{20}}+\dfrac{1}{2^{21}}\)

\(\Rightarrow a=2-\dfrac{1}{2^{21}}=\dfrac{2^{22}-1}{2^{21}}\)

Gọi số học sinh của lớp \(8A\) là \(x\left(x\in N;x\ne0\right)\)

- Học kì \(I\) số học sinh giỏi là \(\dfrac{x}{8}\left(học.sinh\right)\)

- Học kì \(II\) số học sinh giỏi là \(\dfrac{x}{8}+3=\dfrac{20}{100}x=\dfrac{x}{5}\left(học.sinh\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{5}-\dfrac{x}{8}=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{3x}{40}=3\)

\(\Rightarrow x=40\left(học.sinh\right)\)

Vậy lớp \(8A\) có \(40\left(học.sinh\right)\)

a) Ta có :

\(CD\perp AD\left(ABCD.là.HCN\right)\)

mà \(CD\perp SA\left(SA\perp\left(ABCD\right)\right)\)

\(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)

b) Ta có : Hình chiếu của \(S\) lên \(\left(ABCD\right)\) là \(A\left(SA\perp\left(ABCD\right)\right)\)

mà Hình chiếu của \(C\) lên \(\left(ABCD\right)\) là \(C\left(C\in\left(ABCD\right)\right)\)

\(\Rightarrow\) Hình chiếu của \(SC\) lên \(\left(ABCD\right)\) là \(AC\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}\right)=\widehat{SCA}\)

Xét tam giác vuông \(SAC\) (Vuông tại \(A\)); ta có :

\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}\)

mà \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt{5}\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{3a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}\right)=\widehat{SCA}=arctan\left(\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\right)\)

c) Ta có :

\(CD\perp\left(SAD\right)\left(cmt\right)\)

mà \(AH\subset\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow AH\perp CD\)

mà \(AH\perp SD\) (\(AH\) là đường cao \(\Delta SAD\))

\(\Rightarrow AH\perp\left(SCD\right)\)

mà \(SC\subset\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow AH\perp SC\left(đpcm\right)\)

Gọi \(A\left(m;0;0\right);B\left(0;n;0\right);C\left(0;0;p\right)\) lần lượt là các điểm cắt trục \(Ox;Oy;Oz\)

Theo đề bài ta có \(OA;OB;OC\) là một cấp số nhân với công bội \(3\)

\(\Rightarrow OA=m;OB=n=3m;OC=c=3n=9m\)

\(A;B;C\in\left(\alpha\right)\Rightarrow PTTQ\left(\alpha\right):\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{p}=1\)

\(\Rightarrow\left(\alpha\right):\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{3m}+\dfrac{z}{9m}=1\)

\(\Rightarrow\left(\alpha\right):9x+3y+z=9m\)

\(M\left(1;2;3\right)\in\left(\alpha\right)\Rightarrow9.1+3.2+3=9m\Leftrightarrow m=2\)

\(\Rightarrow\left(\alpha\right):9x+3y+z-18=0\)

mà \(\left(\alpha\right):ax+by+z+d=0\)

\(\Rightarrow a=9;b=3;d=-18\)

\(\Rightarrow a+b+d=9+3-18=-6\)

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=\dfrac{x+y+z}{1}=x+y+z\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{x}{a}\right)^2=\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=\left(\dfrac{z}{c}\right)^2=\left(x+y+z\right)^2\left(1\right)\)

Ta lại có :

\(\left(\dfrac{x}{a}\right)^2=\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=\left(\dfrac{z}{c}\right)^2=\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\left(Đpcm\right)\)

Theo đề bài ta có \(\left(d\right)\cap\left(d'\right)=M\left(1;2;4\right)\)

\(N\left(a;b;c\right)\in\left(d'\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=1+3t'< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow t'< -\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\left(0;0;3t'-3\right)\)

Ta có : \(MN=6\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{0^2+0^2+\left(3t'-3\right)^2}=6\)

\(\Leftrightarrow\left|3t'-3\right|=6\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3t'-3=6\\3t'-3=-6\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t'=3\left(loại\right)\\t'=-1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow t'=-1\Rightarrow c=1+3.\left(-1\right)=-2\)

\(\Rightarrow N\left(a;b;c\right)=\left(1;2;-2\right)\)

\(\Rightarrow a-b+c=1-2+\left(-2\right)=-3\)

\(\left(P\right):2x-y+2z+5=0\Rightarrow\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;2\right)\)

\(\left(Q\right):x-y+2=0\Rightarrow\overrightarrow{n_Q}=\left(1;-1;0\right)\)

\(cos\left(\widehat{\left(P\right);\left(Q\right)}\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}\right|}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|.\left|\overrightarrow{n_Q}\right|}=\dfrac{\left|2.1+\left(-1\right).\left(-1\right)+2.0\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+2^2}.\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{3}{3\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{\left(P\right);\left(Q\right)}\right)=45^o\)

\(\Rightarrow A.Sai;B.Đúng\)

\(\dfrac{2}{1}\ne\dfrac{-1}{-1}\ne\dfrac{2}{0}\Rightarrow\left(P\right)\&\left(Q\right)\) không song song với nhau

\(\Rightarrow C.Sai\)

Giả sử \(M\left(0;5;0\right)\in\left(P\right)\Leftrightarrow2.0-5+2.0+5=0\Leftrightarrow0=0\left(đúng\right)\)

\(\Rightarrow D.Đúng\)

\(\left(P\right):x+2y+3z+2=0\Rightarrow\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;3\right)\)

\(\left(P\right)//\left(Q\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_Q}=\left(1;2;3\right)\)

\(\Rightarrow\left(Q\right):x+2y+3z+c=0\)

mà \(\left(Q\right):ax+2y+bz+c=0\)

\(\Rightarrow a=1;b=3\)

\(M\left(1;2;3\right)\in\left(Q\right)\Rightarrow1+2.2+3.3+c=0\Rightarrow c=-14\)

\(\Rightarrow a+b+c=1+3-14=-10\)

Ta có : \(AB=10\left(m\right)\Rightarrow R=\dfrac{10}{2}=5\left(m\right)\)

Đặt tâm \(O\left(0;0\right)\Rightarrow\) PT đường tròn \(x^2+y^2=25\)

Hai Parabol đối xứng qua \(Ox\) nên đi qua \(A\left(5;0\right);B\left(-5;0\right)\). Đỉnh của chúng là \(\left(0;4\right)\&\left(0;-4\right)\) (cách mép hình tròn \(1m\))

\(\Rightarrow\) Parabol trên có phương trình \(y=ax^2+4\left(P_1\right)\)

\(A\left(5;0\right)\in\left(P_1\right)\Rightarrow0=a.5^2+4\Rightarrow a=-\dfrac{4}{25}\)

\(\Rightarrow\left(P_1\right):y=-\dfrac{4}{25}x^2+4\)

Tương tự, parabol dưới đối xứng với parabol trên qua trục \(Ox\)

\(\left(P_2\right):y=\dfrac{4}{25}x^2-4\)

Diện tích miền giữa hai parabol trong đoạn \(x\in\left[-5;5\right]\)

\(S_1=\int\limits^5_{-5}\left[\left(-\dfrac{4}{25}x^2+4\right)-\left(\dfrac{4}{25}x^2-4\right)\right]dx\)

\(\Rightarrow S_1=\int\limits^5_{-5}\left(-\dfrac{8}{25}x^2+8\right)dx=-\dfrac{8}{25}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]^5_{-5}+\left[8x\right]^5_{-5}\)

\(\Rightarrow S_1=-\dfrac{8}{25}.\dfrac{250}{3}+8.10=\dfrac{160}{3}\approx53,3\left(m^2\right)\)

\(S_{tròn}=\pi R^2=\pi5^2=25\pi\approx78,5\left(m^2\right)\)

Diện tích phần lát gốm:

\(S_2=S_{tròn}-S_1=78,5-53,3=25,2\left(cm^2\right)\)

Chi phí trồng hoa : \(53,3.300=15990\left(nghìn.đồng\right)\)

Chi phí lát gốm : \(25,2.700=17640\left(nghìn.đồng\right)\)

Tổng chi phí : \(15990+17640=33630\left(nghìn.đồng\right)\approx33,6\left(triệu.đồng\right)\)

Gọi \(x;y;z\in N\) là số máy lần lượt của đội \(I;II;III\)

Vì năng suất mỗi máy như nhau và các đội làm việc trên cánh đồng giống nhau, số máy của mỗi đội tỉ lệ nghịch với thời gian hoàn thành công việc. Nên theo đề bài ta có :

\(x-z=3\)

\(4x=6y=5z\)

\(\Rightarrow\dfrac{4x}{60}=\dfrac{6y}{60}=\dfrac{5z}{60}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{10}=\dfrac{z}{12}=\dfrac{x-z}{15-12}=\dfrac{3}{3}=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1.15=15\\y=1.10=10\\z=1.12=12\end{matrix}\right.\)

Vậy số máy lần lượt của đội \(I;II;III\) là \(15\left(máy\right);10\left(máy\right);12\left(máy\right)\)