Theo đề bài ta có :

Tổng lợi nhuận \(L\left(x;y\right)=3,5x+2y\left(triệu.đồng\right)\)

Điều kiện : 

- Vốn đầu tư \(20x+10y\le1200\Leftrightarrow2x+y\le120\left(1\right)\)

- Tổng cầu \(x+y\le100\left(2\right)\)

- Đk số lượng máy \(x;y\ge0\left(3\right)\)

Dùng đồ thị giải \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\)

Miền nghiệm giới hạn bởi \(4\) điểm \(\left(0;0\right);\left(60;0\right);\left(20;80\right);\left(0;100\right)\)

\(L\left(0;0\right)=0\)

\(L\left(60;0\right)=210\)

\(L\left(20;80\right)=230\)

\(L\left(0;100\right)=200\)

\(\Rightarrow\) Điểm \(\left(20;80\right)\) cho lợi nhuận lớn nhất (\(230\) triệu đồng)

\(\Rightarrow x^2+y^2=20^2+80^2=6800\)

a) \(P\left(A|M\right)=0,7\)

Khả năng An không đi là \(P\left(\overline{A}\overline{|M}\right)=1-P\left(A|M\right)=1-0,7=0,3=30\%\RightarrowĐúng\)

b) Xác suất An đi khi trời không mưa \(P\left(A|\overline{M}\right)=0,7\)

Xác suất An đi khi trời mưa \(P\left(A|M\right)=0,4\)

Xác suất An đi xem bóng đá : 

\(P\left(A\right)=P\left(A|\overline{M}\right).P\left(\overline{M}\right)+P\left(A|M\right).P\left(M\right)\)

\(\Rightarrow P\left(A\right)=0,7.0,7+0,4.0,3=0,61\RightarrowĐúng\)

c) \(P\left(B|A\right)=0,8;P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=1\)

\(P\left(\overline{B}\right)=P\left(\overline{B}|A\right).P\left(A\right)+P\left(\overline{B}|\overline{A}\right).P\left(\overline{A}\right)\)

\(\Rightarrow P\left(\overline{B}\right)==\left(1-0,8\right).0,61+1.\left(1-0,61\right)=0,512\RightarrowĐúng\)

d) \(P\left(C\right)=0,6\Rightarrow P\left(\overline{C}\right)=1-0,6=0,4\)

\(TH_1:A\cap B\cap C\Rightarrow P\left(A\right).P\left(B|A\right).P\left(C\right)=0,61.0,8.0,6=0,2928\)

\(\)\(TH_2:A\cap B\cap\overline{C}\Rightarrow P\left(A\right).P\left(B|A\right).P\left(\overline{C}\right)=0,61.0,8.0,4=0,1952\)

\(TH_3:A\cap\overline{B}\cap C\Rightarrow P\left(A\right).P\left(\overline{B}|A\right).P\left(C\right)=0,61.0,2.0,6=0,0732\)

\(TH_4:\overline{A}\cap B\cap C\Rightarrow P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right).P\left(C\right)=0,39.0.0,6=0\)

Cộng \(4\) trường hợp trên ta được xác suất để ít nhất hai người đi là:

\(0,2928+0,1952+0,0732+0=0,5612\RightarrowĐúng\)

\(y=f\left(x\right)\) là Parabol qua \(M\left(-8;0\right)\) có dạng : \(f\left(x\right)=k\left(x+8\right)^2\)

\(y=g\left(x\right)\) là đồ thị hàm bậc \(3\) có dạng : \(g\left(x\right)=t\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x-8\right)\)

Theo đồ thị ta thấy \(f\left(-3\right)=g\left(-3\right)\Rightarrow k=-\dfrac{11}{5}t\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=-\dfrac{11}{5}t\left(x+8\right)^2\)

\(S_1+S_3=S_2+S_4+\dfrac{109}{12}\)

\(\Leftrightarrow S_1+S_3-S_4=S_2+\dfrac{109}{12}\)

\(\Leftrightarrow\int\limits^8_{-3}g\left(x\right)dx=\int\limits^{-3}_{-8}f\left(x\right)dx+\dfrac{109}{12}\)

... giải ra suy ra \(t=-\dfrac{1}{11}\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)=-\dfrac{1}{11}\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x-8\right)=-\dfrac{1}{11}x^3+\dfrac{8}{11}x^2+\dfrac{4}{11}x-\dfrac{32}{11}\)

\(g'\left(x\right)=-\dfrac{3}{11}x^2+\dfrac{16}{11}x+\dfrac{4}{11}=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{8\pm2\sqrt{19}}{3}\)

Lập BBT và theo đồ thị ta thấy \(g\left(x\right)_{min}\) tại \(x=\dfrac{8-2\sqrt{19}}{3}\)

\(\Rightarrow\) Độ sâu lớn nhất \(h_{max}=\left|g\left(\dfrac{8-2\sqrt{19}}{3}\right)_{min}\right|\approx2,95\left(m\right)\)

Bài 5 :

a) Xét tam giác \(ABH:\)

\(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{AB}\) (t/c phân giác \(BI\))

\(\Rightarrow IH.AB=IA.BH\left(đpcm\right)\)

b) Xét tam giác \(ABH\&ABC:\)

\(\widehat{H}=\widehat{A}=90^o\left(AB\perp AC;AH\perp BC\right)\)

\(\widehat{B}\) là góc chung

\(\Rightarrow\Delta ABH\sim\Delta CBA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{BC}{AB}\)

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\)

c) Xét tam giác \(ABC:\)

\(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AB}{BC}\) (t/c phân giác \(BE\))

mà \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}\left(\Delta ABH\sim\Delta CBA\right)\)

      \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{AB}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AE}{EC}\left(đpcm\right)\)

d) Xét tam giác \(ABH\&IBH:\)

\(\widehat{H}=\widehat{A}=90^o\left(AB\perp AC;AH\perp BC\right)\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{IBH}\left(phân.giác\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABE\sim\Delta HBI\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BIH}=\widehat{IEA}\)

mà \(\widehat{BIH}=\widehat{AIE}\left(đối.đỉnh\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AIE}=\widehat{IEA}\)

\(\Rightarrow\Delta AIE\) cân tại \(A\left(đpcm\right)\)

Câu 3 :

Để phương trình cho là một đường tròn khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-c>0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2+\left(-2m\right)^2-19m+6>0\)

\(\Leftrightarrow5m^2-15m+10>0\)

\(\Leftrightarrow m< 1\cup m>2\)

Câu 4:

Vì đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại \(A\left(2;0\right)\), tâm \(I\) của đường tròn có tọa độ \(\left(2;k\right)\), với \(R=\left|k\right|\) là bán kính của đường tròn. Phương trình đường tròn có dạng:

\(\left(x-2\right)^2+\left(y-k\right)^2=k^2\)

\(IB=\sqrt{\left(6-2\right)^2+\left(4-k\right)^2}=5\)

\(\Rightarrow16+\left(4-k\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(4-k\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=1\\k=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(2;1\right)\cup I\left(2;7\right)\)

Vậy có \(2\) phương trình đường tròn \(\left(C\right):\)

\(\left[{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=1\\\left(x-2\right)^2+\left(y-7\right)^2=49\end{matrix}\right.\)

 Lượng nước trong \(200\) kg hạt tươi :

\(200x20\%=40\left(kg\right)\)

Lượng chất khô trong \(200\) kg hạt tươi :

\(200-40=160\left(kg\right)\)

Khối lượng hạt sau khi phơi :

\(200-30=170\left(kg\right)\)

Lượng nước còn lại trong hạt sau khi phơi khô :

\(170-160=10\left(kg\right)\)

Tỉ lệ phần trăm nước trong hạt đã phơi khô :

\(\dfrac{10}{170}x100\%=5,88\%\)

Đáp số...

Câu 5 :

\(BH\perp MN\Rightarrow BH=d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|3.1+4.1+8\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{15}{5}=3\)

\(R^2=BH^2+\left(\dfrac{MN}{2}\right)^2\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow R^2=3^2+4^2=25\)

\(\Rightarrow\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=25\)

\(A:\) Chọn được một thành viên nam.

\(B:\) Chọn được một thành viên nữ.

\(C:\) Thành viên được chọn hoàn thành FM sub \(4\)

\(P\left(A\right)=0,72;P\left(B\right)=0,28\)

\(P\left(C|A\right)=0,32;P\left(C|B\right)=0,03\)

\(P\left(C\right)=P\left(A\right).P\left(C|A\right)+P\left(B\right).P\left(C|B\right)=0,72.0,32+0,28.0,03=0,2388\)

Áp dụng công thức Bayes:

\(P\left(A|C\right)=\dfrac{P\left(C|A\right).P\left(A\right)}{P\left(C\right)}=\dfrac{0,32.0,72}{0,2388}\approx0,96\)

Gọi \(x\) là số tấn sản phẩm \(A\) và \(y\)là số tấn sản phẩm \(B\)

Hàm mục tiêu là tổng số tiền lãi thu được: \(L\left(x;y\right)=2x+1,6y\)

Điều kiện :

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y\le6\\x+y\le4\\x\ge0;y\ge0\end{matrix}\right.\)

Miền nghiệm giới hạn bởi \(A\left(0;0\right);B\left(2;0\right);C\left(1;3\right);D\left(0;4\right)\)

\(L\left(0;0\right)=2.0+1,6.0=0\)

\(L\left(2;0\right)=2.2+1,6.0=4\)

\(L\left(1;3\right)=2.1+1,6.3=6,8\)

\(L\left(0;4\right)=2.0+1,6.4=6,4\)

\(\Rightarrow\) Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu là \(6,8\) triệu đồng, đạt được khi sản xuất \(1\) tấn sản phẩm \(A\) và \(3\) tấn sản phẩm \(B\)

Vậy số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng có thể thu được trong một ngày là \(6,8\left(triệu.đồng\right)\)

\(a.0,48m^2=4800cm^2\)

\(b.0,2kg=200g\)

\(c.5628dm^3=5,628m^3\)

\(d.3\left(giờ\right)6\left(phút\right)=3,1\left(giờ\right)\)