a)

Thay \(B\left(4;-1;2\right)\) vào \(\left(\alpha\right)\Rightarrow4.4+2.\left(-1\right)-2-12=0\left(đúng\right)\Rightarrow B\in\left(\alpha\right)\)

Thay \(C\left(1;3;-2\right)\) vào \(\left(\alpha\right)\Rightarrow4.1+2.3+2-12=0\left(đúng\right)\Rightarrow C\in\left(\alpha\right)\)

\(\Rightarrow BC\in\left(\alpha\right)\Rightarrow Sai\)

b)

\(\overrightarrow{AB}=\left(1;-2;3\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-2;2;-1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{n\left(ABC\right)}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(-4;-5;-2\right)=-\left(4;5;2\right)\)

\(\left(ABC\right):4\left(x-3\right)+5\left(y-1\right)+2\left(z+1\right)=0\) hay \(4x+5y+2z-15=0\)

\(R=d\left(I;\left(ABC\right)\right)=\dfrac{\left|4.\left(-4\right)+5.4+2.\left(-1\right)-15\right|}{\sqrt{4^2+5^2+2^2}}=\dfrac{13}{3\sqrt{5}}\ne\dfrac{26}{\sqrt{5}}\Rightarrow Sai\)

c) \(\left(AB\right):\left\{{}\begin{matrix}x=4+t\\y=-1-2t\\z=2+3t\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow Sai\)

d) Gọi \(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IB}-3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{1.3-4.4-3.1}{1-4-3}=\dfrac{8}{3}\\y_I=\dfrac{1.1-4.\left(-1\right)-3.3}{1-4-3}=\dfrac{2}{3}\\z_I=\dfrac{1.\left(-1\right)-4.2-3.\left(-2\right)}{1-4-3}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right|=\left|-6\overrightarrow{MI}\right|=6MI\)

mà \(M\in\left(\alpha\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right|_{min}\) là \(6.d\left(I;\left(\alpha\right)\right)\)

\(MI=d\left(I;\alpha\right)=\dfrac{\left|4.\dfrac{8}{3}+2.\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}-12\right|}{\sqrt{4^2+2^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\sqrt{21}}=\dfrac{1}{2\sqrt{21}}\)

\(\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right|_{min}=6.\dfrac{1}{2\sqrt{21}}=\dfrac{3}{\sqrt{21}}\RightarrowĐúng\)

a) \(v_o=72\left(km/h\right)=20\left(m/s\right)\)

Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi phanh:

\(s_1=20.3=60\left(m\right)\)

Khoảng cách từ vị trí bắt đầu giảm tốc đến đầu đoạn đường giới hạn tốc độ: 

\(s_2=s-s_1=100-60=40\left(m\right)\RightarrowĐúng\)

b) \(v\left(t\right)=-2t+k\left(1\right)\)

\(t=0\Rightarrow v\left(0\right)=20\left(m/s\right)\)

\(\left(1\right)\Rightarrow20=-2.0+k\Rightarrow k=20\Rightarrow v\left(t\right)=-2t+20\Rightarrow Sai\)

c) Do \(72\left(km/h\right)>50\left(km/h\right)\) nên bị phạt \(\Rightarrow\) \(Đúng\)

d) \(v\left(t\right)=-2t+20\) là vận tốc giảm dần

Quãng đường đi được trong \(4\left(s\right):\)

\(s_2=\int\limits^4_0\left(-2t+20\right)dt=\left[-t^2+20t\right]^4_0=-16+80=64\left(m\right)\)

Tổng quãng đường từ khi cảnh báo đến khi dừng giảm tốc:

\(60+64=124\left(m\right)\)

Ô tô chuyển động đều với vận tốc \(v\left(4\right)=-2.4+20=12\left(m/s\right)\) với \(t=5p=300\left(s\right)\)

\(s_3=12.300=3600\left(m\right)\)

Tổng quãng đường đoạn giới hạn \(50\left(km/h\right):\)

\(124+3600=3724\left(m\right)\RightarrowĐúng\)

Số thứ nhất bằng :

\(\dfrac{2}{5}:\dfrac{3}{4}=\dfrac{2}{5}.\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{15}\left(số.thứ.hai\right)\)

Tổng số phần bằng nhau :

\(8+15=23\left(phần\right)\)

Số thứ nhất là :

\(276:23x8=96\)

Số thứ hai là :

\(276-96=180\)

Đáp số...

\(\dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{4}=\dfrac{25}{x+\dfrac{1}{2}}\left(x\ne-\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=4.25=100\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{2}=10\\x+\dfrac{1}{2}=-10\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10-\dfrac{1}{2}=\dfrac{19}{2}\\x=-10-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{21}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\in\left\{-\dfrac{21}{2};\dfrac{19}{2}\right\}\)

Phương trình cho có \(2\) nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2+4m+5>0\left(\Delta'_m=4-5=-1< 0;a=1>0\Rightarrowđúng\right)\)

\(\Rightarrow\) Phương trình cho luôn có \(2\) nghiệm \(x_1;x_2\) phân biệt với mọi \(m\)

Áp dụng định lý Vi -ét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-4m-5\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2-2\left(m-1\right)x_1+2x_2-4m=5+2x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1^2-2mx_1-4m-5\right)+2x_1+2x_2-2x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow0+2\left(x_1+x_2-x_1x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2-x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow2m+4m+5=0\)

\(\Leftrightarrow m=-\dfrac{5}{6}\)

Vậy \(m=-\dfrac{5}{6}\) thỏa đề bài

Bài 3 :

Không gian mẫu \(n\left(\Omega\right)=6.6=36\left(phần\right)tử\)

Xét biến cố \(A:\)

- Hai con xúc xắc là số lẻ có \(3.3=9\left(cách\right)\)

- Hai con xúc xắc là số chẵn có \(3.3=9\left(cách\right)\)

\(\Rightarrow n\left(A\right)=9+9=18\left(cách\right)\)

\(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}\)

Xét biến cố \(B:\) có \(1\left(cách\right)\)

\(\Rightarrow n\left(B\right)=1\left(cách\right)\Rightarrow P\left(B\right)=\dfrac{1}{36}\)

Xét biến cố \(C:\) \(\left(1;1\right);\left(2;2\right);\left(3;3\right);\left(4;4\right);\left(5;5\right);\left(6;6\right)\)

\(\Rightarrow n\left(C\right)=6\left(cách\right)\Rightarrow P\left(C\right)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)

Vậy \(P\left(A\right)>P\left(C\right)>P\left(B\right)\)

Bài 4 :

Không gian mẫu \(n\left(\Omega\right)=4\left(phần\right)tử\)

Xét biến cố \(A:n\left(A\right)=1\left(cách\right)\Rightarrow P\left(A\right)=\dfrac{1}{4}\left(chỉ.có.số.2\right)\)

Xét biến cố \(B:n\left(B\right)=0\left(cách\right)\Rightarrow P\left(B\right)=\dfrac{0}{4}=0\)

Xét biến cố \(C:n\left(C\right)=4\left(cách\right)\Rightarrow P\left(C\right)=\dfrac{4}{4}=1\left(gốm\left\{2;4;6;8\right\}\right)\)

Lãi suất \(6\) tháng:

\(\dfrac{5\%}{2}=2,5\%\)

Số tiền gốc của người đó :

\(102500000:\left(100\%+2,5\%\right)=100000000\left(đồng\right)\)

Theo đề bài ta có bất phương trình :

\(\left(5^x-5^m\right)\left(25.5^x-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(5^x-5^m\right)\left(5^{x+2}-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(5^x-5^m\right)< 0\\\left(5^{x+2}-1\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\cup\left\{{}\begin{matrix}\left(5^x-5^m\right)>0\\\left(5^{x+2}-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5^x< 5^m\\5^{x+2}>1=5^0\end{matrix}\right.\) \(\cup\left\{{}\begin{matrix}5^x>5^m\\5^{x+2}< 1=5^0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< m\\x+2>0\end{matrix}\right.\) \(\cup\left\{{}\begin{matrix}x>m\\x+2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-2< x< m\) \(\cup\) \(m< x< -2\left(VN.vì.m\in Z^+\right)\)

\(\Leftrightarrow-2< x< m\)

mà \(m\in[1;+\infty)\) và nghiệm \(x\in\left\{-1;0;...m-1\right\}\) nguyên không quá \(31\)

\(\Rightarrow m+1\le31\)

\(\Leftrightarrow m\le30\)

\(\Rightarrow m\in\left\{1;2;...30\right\}\left(m\in Z^+\right)\)

\(\Rightarrow\) Có \(30\) giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn

\(3x^2+y^2-2xy-2x+2y-5=0\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y\left(x-1\right)+3x^2-2x-5=0\left(1\right)\)

\(\left(1\right)\) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(x-1\right)^2-3x^2+2x+5\ge0\) và là số chính phương

\(\Leftrightarrow2x^2\le6\Leftrightarrow x^2\le3\Leftrightarrow-\sqrt{3}\le x\le\sqrt{3}\), mà \(x\in Z\)

\(\Rightarrow x\in\left\{-1;0;1\right\}\)

\(TH_1:x=-1\Rightarrow\Delta'=4\left(tm\right)\Rightarrow y=-2\pm2\Rightarrow y\in\left\{0;-4\right\}\)

\(TH_2:x=0\Rightarrow\Delta'=6\left(ktm\right)\)

\(TH_3:x=11\Rightarrow\Delta'=4\left(tm\right)\Rightarrow y=\pm2\Rightarrow y\in\left\{-2;2\right\}\)

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;0\right);\left(-1;-4\right);\left(1;-2\right);\left(1;2\right)\right\}\) thỏa mãn đề bài

Câu 29 :

Đây là dạng phương trình đoạn chắn: \(\left(d\right)\) đi qua hai điểm \(A\left(a;0\right);B\left(0;b\right)\left(a;b\ne0\right)\) có dạng :

\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\Rightarrow Chọn.C\)

Chứng minh công thức trên :

Hệ số góc \(k=\dfrac{b-0}{0-a}=-\dfrac{b}{a}\Rightarrow y=-\dfrac{b}{a}x+m\)

Phương trình đường thẳng qua \(B\left(0;b\right)\Rightarrow b=m\Rightarrow y=-\dfrac{b}{a}x+b\)

\(\Rightarrow y+\dfrac{b}{a}x=b\Rightarrow\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\left(chia.cho.b\ne0\right)\Rightarrowđpcm\)

Câu 30 : 

\(\dfrac{x}{-6}+\dfrac{y}{4}=1\) hay \(\dfrac{-x}{6}+\dfrac{y}{4}=1\Rightarrow Chọn.D\)