Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=2023-x\\b=2025-x\\c=2x-4048\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4048-2x\\c=2x-4048=-a-b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c=0\)

\(PT\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=0\left(1\right)\)

Ta lại có \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\left(a+b+c=0\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc=3ab\left(-a-b\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow3ab\left(-a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\\-a-b=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2023-x=0\\2025-x=0\\2x-4048=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2023\\x=2025\\x=2024\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\in\left\{2023;2024;2025\right\}\)

a) \(...\dfrac{4x-45+6x}{30}=\dfrac{35}{30}\Rightarrow10x=35+45\Rightarrow x=8\)

b) \(...\dfrac{5x-4x-40}{100}=\dfrac{200}{100}\Rightarrow x=200+40\Rightarrow x=240\)

c) \(...2x-37=-12x+15\Rightarrow14x=52\Rightarrow x=\dfrac{52}{14}=\dfrac{26}{7}\)

d) \(...\dfrac{9\left(3x+1\right)+6-18}{6}=\dfrac{4\left(5x+1\right)-3x-1}{6}\)

\(\Rightarrow27x+9-12=20x+4-3x-1\)

\(\Rightarrow10x=6\Rightarrow x=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác \(ABM;BCM;CAM:\)

\(MA+MB>AB\left(1\right)\)

\(MB+MC>BC\left(2\right)\)

\(MC+MA>AC\left(3\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow2\left(MA+MB+MC\right)>AB+BC+AC\)

\(\Rightarrow MA+MB+MC>\dfrac{AB+BC+AC}{2}\left(đpcm\right)\)

b) Kéo dài \(AM;BM;CM\) cắt \(BC;AC;AB\) tại \(D;E:F\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác \(ABD;MCD\)

\(AB+BD>AD\Rightarrow AB+BD>AM+MD\left(a\right)\)

\(MC< MD+DC\Rightarrow MD>MC-DC\left(b\right)\)

\(\left(a\right);\left(b\right)\Rightarrow AB+BD>AM+MC-DC\)

\(\Rightarrow AB+BD+DC>AM+MC\)

\(\Rightarrow AB+BC>AM+MC\left(1\right)\)

Tương tự :

\(BC+CA>MB+MA\left(2\right)\)

\(CA+AB>MC+MB\left(3\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow2\left(AB+BC+CA\right)>2\left(MA+MB+MC\right)\)

\(\Rightarrow MA+MB+MC< AB+BC+CA\left(đpcm\right)\)

\(9600\left(lít\right)=9600x0,001=9,6\left(m^3\right)\)

Nửa chu vi đáy :

\(12:2=6\left(m\right)\)

Số phần bằng nhau của chiều dài và chiều rộng :

\(1+2=3\left(phần\right)\)

Chiều dài đáy là :

\(6:3x2=4\left(m\right)\)

Chiều rộng đáy là :

\(6-4=2\left(m\right)\)

Diện tích đáy HCN :

\(4x2=8\left(m^2\right)\)

Chiều cao của bể :

\(9,6:8=1,2\left(m\right)\)

Đáp số...

Số học sinh tham gia bóng rổ chiếm :

\(\dfrac{5}{8}x100\%=62,5\%\)

Đáp số...

Câu 2 :

Phương trình của elip có dạng :

\(\left(E\right):\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)

Vói \(a=\dfrac{120}{2}=60\left(m\right);b=\dfrac{90}{2}=45\left(m\right)\)

\(\Rightarrow\left(E\right):\dfrac{x^2}{3600}+\dfrac{y^2}{2025}=1\)

\(\Rightarrow y=45.\sqrt{1-\dfrac{x^2}{3600}}\)

\(S\left(x\right)=S_{HCN}=2x.2y=4xy=4x.45\sqrt{1-\dfrac{x^2}{3600}}=180x.\sqrt{1-\dfrac{x^2}{3600}}\left(m^2\right)\)

\(\Rightarrow S\left(x\right)=3x\sqrt{3600-x^2}\le3.\dfrac{x^2+3600-x^2}{2}=5400\left(Bđt.AM-GM\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x^2=3600-x^2\Leftrightarrow x=\sqrt{1800}=30\sqrt{2}\left(m\right)\)

Vậy diện tích xây dựng lớn nhất là \(5400\left(m^2\right)\)

Câu 1 :

Không gian mẫu \(n\left(\Omega\right)=30\left(thẻ\right)\)

Các số nguyên tố \(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\Rightarrow n\left(A\right)=10\)

Xác suất để thẻ được lấy ghi một số nguyên tố là:

\(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}\)

Câu 3 :

- Số cách chọn \(3\) chữ cái là \(A^3_{26}=\dfrac{26!}{23!}=26.25.24\left(cách\right)\)

- Số cách chọn \(5\) chữ số là \(A^5_{10}=\dfrac{10!}{5!}=10.9.8.7.6\left(cách\right)\)

\(\Rightarrow\) Tổng số cách tạo mật khẩu \(\left(26.25.24\right)x\left(10.9.8.7.6\right)=471.744.000\left(cách\right)\)

5.10

a) PTHĐ giao điểm của \(\left(d_1\right)\&\left(d_2\right):\)

\(2x+1=3x-4\Leftrightarrow x=5\Rightarrow y=2.5+1=11\)

\(\Rightarrow\left(5;11\right)=\left(d_1\right)\cap\left(d_2\right)\)

b) PTHĐ giao điểm của \(\left(d_2\right)\cap\left(d_3\right):\)

\(3x-4=\dfrac{1}{2}x-3\Leftrightarrow\dfrac{5}{2}x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{5}\Rightarrow y=3.\dfrac{2}{5}-4=-\dfrac{14}{5}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{5};-\dfrac{14}{5}\right)=\left(d_2\right)\cap\left(d_3\right)\)

c) PTHĐ giao điểm của \(\left(d_1\right)\&\left(d_3\right):\)

\(2x+1=\dfrac{1}{2}x-3\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}x=-4\Leftrightarrow x=-\dfrac{8}{3}\Rightarrow y=2.\left(-\dfrac{8}{3}\right)+1=-\dfrac{13}{3}\)

\(\Rightarrow\left(-\dfrac{8}{3};-\dfrac{13}{3}\right)=\left(d_1\right)\cap\left(d_3\right)\)

d) PTHĐ giao điểm của \(\left(d_3\right)\&\left(d_4\right):\)

\(\dfrac{1}{2}x-3=-x\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}x=3\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}.2-3=-2\)

\(\Rightarrow\left(2;-2\right)=\left(d_3\right)\cap\left(d_4\right)\)

5.13

a) \(A\left(x;0\right)=\left(d\right)\cap\left(Ox\right)\Rightarrow0=2x-1\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{1}{2};0\right)\) là giao điểm của \(d\) và \(Ox\)

b) \(B\left(0;y\right)=\left(d\right)\cap\left(Oy\right)\Rightarrow y=2.0-1\Rightarrow y=-1\)

\(\Rightarrow B\left(0;-1\right)\) là giao điểm của \(d\) và \(Oy\)

c) Hoành độ giao điểm của \(\left(d\right)\&\left(d'\right):\)

\(2x-1=-3x+2\Leftrightarrow5x=3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}\Rightarrow y=-3.\dfrac{5}{3}+2=-3\)

\(\Rightarrow\) Tọa độ giao điểm của \(\left(d\right)\&\left(d'\right)\) là \(\left(\dfrac{3}{5};-3\right)\)

Tổng các chữ số của số \(555...27\) là \(5n+2+7=5n+9\)

Tổng các chữ số của số \(4n\) là \(4n\)

\(\Rightarrow\) Tổng các chữ số của số \(555...27+4n\) là \(5n+9+4n=9n+9=9\left(n+1\right)⋮9\)

Vậy \(555...27+4n⋮9\left(đpcm\right)\)