Phần 4. Tự luận Câu 1. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Tính xác suất để thẻ được lấy ghi một số nguyên tố.
Câu 2. Một mảnh đất hình Elip có độ dài trục lớn bằng \(120m\), độ dài trục bé bằng \(90m\). Tập đoàn VinGroup dự định xây dựng một trung tâm thương mại Vincom trong một hình chữ nhật nội tiếp của Elip như hình vẽ. Tính diện tích xây dựng lớn nhất.
Câu 3. Bạn Việt chọn mật khẩu cho email của mình là một dãy gồm 8 kí tự đôi một khác nhau, trong đó có 3 kí tự đầu tiên là 3 chữ cái trong bảng gồm 26 chữ cái in thường và 5 kí tự tiếp theo là chữ số. Bạn Việt có bao nhiêu cách tạo ra mật khẩu?
Câu 2 :
Phương trình của elip có dạng :
\(\left(E\right):\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)
Vói \(a=\dfrac{120}{2}=60\left(m\right);b=\dfrac{90}{2}=45\left(m\right)\)
\(\Rightarrow\left(E\right):\dfrac{x^2}{3600}+\dfrac{y^2}{2025}=1\)
\(\Rightarrow y=45.\sqrt{1-\dfrac{x^2}{3600}}\)
\(S\left(x\right)=S_{HCN}=2x.2y=4xy=4x.45\sqrt{1-\dfrac{x^2}{3600}}=180x.\sqrt{1-\dfrac{x^2}{3600}}\left(m^2\right)\)
\(\Rightarrow S\left(x\right)=3x\sqrt{3600-x^2}\le3.\dfrac{x^2+3600-x^2}{2}=5400\left(Bđt.AM-GM\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2=3600-x^2\Leftrightarrow x=\sqrt{1800}=30\sqrt{2}\left(m\right)\)
Vậy diện tích xây dựng lớn nhất là \(5400\left(m^2\right)\)
Câu 1 :
Không gian mẫu \(n\left(\Omega\right)=30\left(thẻ\right)\)
Các số nguyên tố \(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\Rightarrow n\left(A\right)=10\)
Xác suất để thẻ được lấy ghi một số nguyên tố là:
\(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}\)
Câu 3 :
- Số cách chọn \(3\) chữ cái là \(A^3_{26}=\dfrac{26!}{23!}=26.25.24\left(cách\right)\)
- Số cách chọn \(5\) chữ số là \(A^5_{10}=\dfrac{10!}{5!}=10.9.8.7.6\left(cách\right)\)
\(\Rightarrow\) Tổng số cách tạo mật khẩu \(\left(26.25.24\right)x\left(10.9.8.7.6\right)=471.744.000\left(cách\right)\)
