1) \(...\Rightarrow A=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2-3\sqrt{x}-1}{x-1}\left(x\ne1\right)\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}-1}{x-1}=\dfrac{2x-3\sqrt{x}+3}{x-1}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

2) \(...\left(x\ne4\right)\Rightarrow B=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-2\sqrt{x}+4}{x-4}=\dfrac{x-4\sqrt{x}+4}{x-4}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

3) \(...\left(x\ne4\right)\Rightarrow C=\dfrac{x+\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-2}{x-4}=\dfrac{x+2\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\left(đpcm\right)\) 

4) \(...\left(x\ne0;4\right)\Rightarrow D=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{5\sqrt{x}-8}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{x-\sqrt{x}-5\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{x-6\sqrt{x}+9-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(\Rightarrow D=\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)^2-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}}\)

Hàm số biểu thị số tiền khách hàng phải trả là :

\(y=\left[{}\begin{matrix}10000x\left(0< x\le2\right)\\2.10000+\left(x-2\right).12000\left(x>2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=\left[{}\begin{matrix}10000x\left(0< x\le2\right)\\12000x-4000\left(x>2\right)\end{matrix}\right.\)

Số tiền khách hàng phải trả nếu taxi của công ty với quãng đường \(x=35\left(km\right)\):

\(y=12000.35-4000=416000\left(đồng\right)\)

\(d=d\left(O;\left(\beta\right)\right)=\dfrac{\left|0+2.0-100\right|}{\sqrt{1+2^2}}=\dfrac{100}{\sqrt{5}}\)

\(\overrightarrow{AO}=\left(-80;0;0\right)\)

\(\overrightarrow{n_{\beta}}=\left(1;0;2\right)\)

\(cos\left(\widehat{\overrightarrow{AO};\beta}\right)=cos\theta=\dfrac{\left|-80.1+0.0+0.2\right|}{\sqrt{\left(-80\right)^2}.\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow sin\theta=\sqrt{1-cos^2\theta}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

Nên hình chiếu của quả cầu từ nguồn sáng \(A\) lên mặt phẳng \(\beta\) là một elip (Nếu vuông góc sẽ là hình tròn).

Để tính nhanh diện tích elip này ta chỉ cần lấy diện tích hình tròn bán kính \(20\left(cm\right)\) chia cho \(sin\theta\)

\(S\left(H\right)=\pi.20^2.\dfrac{\sqrt{5}}{2}\approx1404\left(cm^2\right)\approx0,1\left(m^2\right)\)

Câu 20 :

Không gian mẫu \(S:n\left(S\right)=8.A^5_8=8.8.7.6.5.4=53760\left(phần.tử\right)\)

\(TH_1:\) \(4\) chữ số lẻ và \(2\) chữ số chẵn

- Sắp xếp \(4\) chữ số lẻ : \(P\left(4\right)=4!=24\left(cách\right)\)

- Đặt 2 chữ số chẵn vào \(5\) vị trí:

+ Không có chữ số \(0\):  \(4!.C^2_4.A^2_5=24.6.20=2880\left(cách\right)\)

+ Có chữ số \(0:4!.4.A^2_5-24.4.4=1536\left(cách\right)\)

Tổng trường hợp này là \(2880+1536=4416\left(cách\right)\)

\(TH_2:\) \(3\) chữ số lẻ và \(3\) chữ số chẵn

- Không có chữ số \(0\): \(4!.C^3_4.A^3_4=24.4.24=2304\left(cách\right)\)

- Có chữ số \(0:4!.C^2_4.2A^2_4-A^3_4.C^2_3.A^2_4=24.6.24-24.3.12=2592\left(cách\right)\)

Tổng trường hợp này là \(2304+2592=4896\left(cách\right)\)

Tổng số các số có \(6\) chữ số khác nhau mà không có hai chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau là :

\(n\left(A\right)=4416+4896=9312\left(cách\right)\)

\(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\dfrac{9312}{53760}=\dfrac{97}{560}\approx0,17\)

Câu 2 :

Đặt \(t=2x^2+1;x\rightarrow1\Rightarrow t\rightarrow3\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(2x^2+1\right)-f\left(3\right)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left[\dfrac{f\left(2x^2+1\right)-f\left(3\right)}{2x^2-2}.\dfrac{2x^2-2}{x-1}\right]\)

\(=\lim\limits_{t\rightarrow3}\dfrac{f\left(t\right)-f\left(3\right)}{t-3}.\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{x-1}=\lim\limits_{t\rightarrow3}\dfrac{f\left(t\right)-f\left(3\right)}{t-3}.\lim\limits_{x\rightarrow1}2\left(x+1\right)\)

\(=10.2\left(1+1\right)=40\)

Vậy \(\left(1\right)\) là \(40\)