Bài 5 :

a) \(P\left(0\right)=4\Leftrightarrow c=4\)

\(P\left(1\right)=8\Leftrightarrow a+b+c=8\Leftrightarrow a+b=8-c=8-4=4\left(1\right)\)

\(P\left(-1\right)=10\Leftrightarrow a-b+c=10\Leftrightarrow a-b=10-c=10-4=6\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow2a=10\Leftrightarrow a=5\)

\(\left(1\right)\Rightarrow b=4-a=4-5=-1\)

Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(5;-1;4\right)\)

b) Theo trên ta được \(P\left(x\right)=5x^2-x+4\)

\(P\left(2\right)=5.2^2-2+4=22\)

\(P\left(3\right)=5.3^2-3+4=46\)

\(K=\dfrac{P\left(2\right)-P\left(3\right)}{12}=\dfrac{22-46}{12}=-2\)

Bài 7 :

\(A\left(-2\right)=4a-2b+c\)

\(A\left(3\right)=9a+3b+c\)

\(\Rightarrow A\left(-2\right)+A\left(3\right)=\left(4a-2b+c\right)+\left(9a+3b+c\right)=13a+b+2c\)

mà \(13a+b+2c=0\)

\(\Rightarrow A\left(-2\right)+A\left(3\right)=0\)

\(\Rightarrow A\left(-2\right)=-A\left(3\right)\)

\(\Rightarrow A\left(-2\right).A\left(3\right)=A\left(-2\right).\left[-A\left(2\right)\right]=-\left[A\left(2\right)\right]^2\le0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Hằng số khí lí tưởng \(R=8,314\left(\dfrac{J}{mol.K}\right)\)

\(M=M_{O_2}=32\left(\dfrac{g}{mol}\right)=0,032\left(\dfrac{kg}{mol}\right)\)

Trạng thái ban đầu: \(p_1=15\left(MPa\right);T_1=35+273=308\left(K\right);m_1=50\left(kg\right)\)

Trạng thái sau khi dùng khí: \(p_1=5\left(MPa\right);T_1=7+273=280\left(K\right);m_2=49\left(kg\right)\)

Khí bơm thêm: \(T_{bơm}=25+273=298\left(K\right);p_{bơm}=10\left(MPa\right)\)

a) Áp dụng phương trình Clapeyron cho khí trong bình lúc đầu \(\left(n_1\right)\) và cho khí trong bình sau khi dùng \(\left(n_2\right)\) :

\(p_1V_1=n_1RT_1\Rightarrow n_1=\dfrac{p_1V_1}{RT_1}\)

Tương tự \(n_2=\dfrac{p_2V_2}{RT_2}\)

Số mol khí cần bơm thêm \(n_{bơm}=n_1-n_2\Leftrightarrow V_{bơm}=\dfrac{n_{bơm}.R.T_{bơm}}{p_{bơm}}\)

Thay các giá trị vào, ta tính được \(V_{bơm}=8\left(lít\right)\)

\(\Rightarrow\) Đúng

b) \(V=\dfrac{n_1.R.T_1}{p_1}\)

Thay các giá trị vào, ta tính được: \(V=8,42\left(lít\right)\Rightarrow\) Đúng

c) Khối lượng khí còn lại trong bình sau khi dùng được tính bằng:

\(m_{còn.lại}=m_2-m_{bình}=m_1-m_{khí.ban.đầu}=\dfrac{p_2.V.M}{RT_2}\)

Tính toán chi tiết, ta được: \(m_{còn.lại}=\dfrac{1347,2}{2327,9}\approx0,58\left(kg\right)\Rightarrow\) Đúng

d) Lượng khí đã giảm được tính bằng tỉ lệ giữa khối lượng khí ban đầu và khối lượng khí còn lại:

 \(\dfrac{m\left(O_{2,1}\right)}{m\left(O_{2,2}\right)}=\dfrac{50-m_{bình}}{49-m_{bình}}\approx\dfrac{50}{49}\Rightarrow\) Đúng

Tổng các số : \(1+2+3+4+5+6=21\)

Tổng ba cạnh : \(10x3=30\)

Tổng của \(3\) số ở \(3\) đỉnh của tam giác (vì chúng được tính \(2\) lần khi tính tổng \(3\) cạnh) : \(30-21=9\)

\(\Rightarrow\) Các bộ số ở \(3\) đỉnh: Các bộ \(3\) số khác nhau có tổng là \(9\) (và không bao gồm số \(1\)) là: \(2;3;4\)

Vì số \(1\) đã được đặt, và tổng mỗi cạnh là \(10\), chúng ta cần tìm \(2\) số còn lại để tổng với \(1\) là \(10\). Các bộ số này là: \(\left(1;3;6\right);\left(1;4;5\right)\)

Đặt số \(1\) ở đỉnh trên, chọn bộ \(\left(1;3;6\right)\), đặt \(3\) và \(6\) ở hai đỉnh còn lại, số còn lại của bộ \(\left(2;3;4\right)\) là \(2\) và \(4\), số còn lại của bộ \(\left(1;4;5\right)\) là \(5\)

\(\Rightarrow\) Số còn lại chưa sử dụng là \(10-\left(3+5\right)=2\)

\(\Rightarrow\) Chọn \(D.2\)

a) \(A=P\left(1+\dfrac{R}{100}\right)^n\)

\(\Leftrightarrow150000000=100000000\left(1+\dfrac{2,8}{100}\right)^n\)

\(\Leftrightarrow1,5=\left(1+\dfrac{2,8}{100}\right)^n\)

\(\Leftrightarrow log1,5=n.log1,028\)

\(\Leftrightarrow n=\dfrac{log1,5}{log1,028}\approx14,69\left(năm\right)\)

\(0,69.12=8,28\approx8\left(tháng\right)\)

Vậy cần đầu tư khoảng \(14\) năm \(8\) tháng để đạt \(150000000\left(đồng\right)\)

b) \(120000000=100000000\left(1+\dfrac{2,8}{100}\right)^5\)

\(\Leftrightarrow1,2=\left(1+\dfrac{R}{100}\right)^5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[5]{1,2}=1+\dfrac{R}{100}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{R}{100}=0,0371\)

\(\Leftrightarrow R\approx3,7\%\)

Vậy lãi suất cần thiết là \(3,7\%\)

c) \(A=P\left(1+\dfrac{R}{100}\right)^n\Leftrightarrow2P=P\left(1+\dfrac{2,8}{100}\right)^n\)

\(\Leftrightarrow2=1,028^n\)

\(\Leftrightarrow log2=n.log\left(1,028\right)\)

\(\Leftrightarrow n=\dfrac{log2}{log\left(1,028\right)}\approx25,1\approx25\left(năm\right)\)

Vậy cần đầu tư khoảng \(25\left(năm\right)\) để số tiền tăng gấp đôi.

a) \(\int\left(2e^x+3\right)dx=\int2e^xdx+\int3dx=2e^x+3x+C\)

b) \(\int\left(3e^x+2x-1\right)dx=3e^x+2.\dfrac{x^2}{2}-x+C=3e^x+x^2-x+C\)

Đặt \(f\left(x\right)=2^{x+2}-3^{2x-1}\)

\(g\left(x\right)=3^{3-x}-2^{1-2x}\)

Dùng phương pháp đồ thị, 2 hàm số trên cắt nhau, ta tìm được nghiệm của phương trình cho

Dựa vào đồ thị ta được nghiệm \(x\approx-9,047\)

Vì \(-1< x< 1\Rightarrow1-x< 2\) nên \(\sqrt{1-x}< \sqrt{2}\)

Câu 5:

a) Phương trình cho có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\Delta'=1-k>0\)

\(\Leftrightarrow k< 1\left(1\right)\)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=-2\\P=x_1.x_2=k\end{matrix}\right.\)

Ta lại có : \(3x_1+2x_2=1\)

\(\Leftrightarrow3x_1+2\left(-2-x_1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x_1=5\Rightarrow x_2=-2-5=-7\)

\(x_1.x_2=k\Leftrightarrow5.\left(-7\right)=k\Leftrightarrow k=-35\) (thỏa \(\left(1\right)\))

Vậy \(k=-35\) thỏa đề bài

b) \(x_1^2-x_2^2=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right).\left(-2\right)=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)=-6\)

mà \(x_1+x_2=-2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-4\\x_2=2\end{matrix}\right.\)

\(x_1.x_2=k\Leftrightarrow\left(-4\right).2=k\Leftrightarrow k=-8\) (thỏa \(\left(1\right)\))

Vậy \(k=-8\) thỏa đề bài

c) \(x_1^2+x_2^2=1\)

\(\Leftrightarrow S^2-2P=1\)

\(\Leftrightarrow4-2k=1\)

\(\Leftrightarrow k=\dfrac{3}{2}>1\left(ktm\right)\)

Vậy không có bất kỳ giá trị \(k\) nào thỏa mãn đề bài

\(...P=\dfrac{x^2-y^2}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{2}{xy}:\left|\dfrac{x+y}{xy}\right|^2.\dfrac{1}{x-y}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{x^2-y^2}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{2}{xy}:\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(xy\right)^2}.\dfrac{1}{x-y}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{2}{xy}.\dfrac{\left(xy\right)^2}{\left(x+y\right)^2}.\dfrac{1}{x-y}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{x-y}{x+y}+\dfrac{2xy}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)^2}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{\left(x^2-y^2\right)\left(x-y\right)+2xy}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)^2}\)