Đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I\left(1;-2\right);R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

Đường thẳng \(\left(d\right)\) tiếp xúc với đường tròn \(\left(C\right)\) khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow d\left(I;\left(d\right)\right)=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|1-2-m\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|-1-m\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1-m=4\\-1-m=-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-5\\m=3\end{matrix}\right.\)

\(3\) đường conic : Parabol, Elip và Hyperbol

Tất cả \(5\) câu trên đều đúng. Đây là \(5\) dạng bài tập cơ bản và quan trọng về Parabol trong chương trình toán học phổ thông

Câu 3 :

a) \(2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{u}=\dfrac{3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{u}=\dfrac{3\left(1;2\right)-\left(-3;4\right)}{2}=\left(3;1\right)\)

b) \(3\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{c}\Leftrightarrow\overrightarrow{u}=\dfrac{3\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}}{3}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{u}=\dfrac{3\left(-1;3\right)-2\left(1;2\right)-3\left(-3;4\right)}{3}=\left(\dfrac{4}{3};-\dfrac{7}{3}\right)\)

Câu 4 :

\(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)

\(\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

\(2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=2\left(1;2\right)+3\left(3;4\right)=\left(11;16\right)\)

\(\Rightarrow\left|2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{11^2+16^2}=\sqrt{377}\)

 \(A\): Biến cố bệnh nhân hồi phục sau đột quỵ

 \(B\): Biến cố bệnh nhân được điều trị trong 6 giờ đầu sau khi đột quỵ

Theo đề bài, ta có:

\(P\left(A\right)=0,35;P\left(B\right)=0,4;P\left(A\cap B\right)=0,3\)

a) Xác suất người đó được điều trị trong \(6\) giờ đầu sau khi đột quỵ :

\(P\left(B|A\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}=\dfrac{0,3}{0,35}\approx0,9\Rightarrow Sai\)

b) Xác suất người đó không hồi phục biết rằng người đó được điều trị trong \(6\) giờ đầu sau khi đột quỵ:

\(\overline{A}:\) Biến cố bệnh nhân không hồi phục sau đột quỵ

\(P\left(A|B\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\dfrac{0,3}{0,4}=0,75\)

\(P\left(\overline{A|}B\right)=1-P\left(A|B\right)=1-0,75=0,25\Rightarrow Sai\)

c) Xác suất người đó hồi phục biết rằng người đó không được điều trị trong \(6\) giờ đầu sau khi đột quỵ:

\(\overline{B}:\) Biến cố bệnh nhân không được điều trị trong 6 giờ đầu sau khi đột quỵ

\(P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-0,4=0,6\)

\(P\left(A\cap\overline{B}\right)=P\left(A\right)-P\left(A\cap B\right)=0,35-0,3=0,05\)

\(P\left(A|\overline{B}\right)=\dfrac{P\left(A\cap\overline{B}\right)}{P\left(\overline{B}\right)}=\dfrac{0,0,05}{0,6}=0,08\Rightarrow Sai\)

d) Tỉ lệ tăng: \(\dfrac{P\left(A|B\right)}{P\left(A|B'\right)}=\dfrac{0,75}{0,08}\approx9\left(lần\right)\RightarrowĐúng\)

Câu 2 :

Xác suất mục tiêu không bị bắn trúng bởi từng khẩu pháo :

\(P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,5=0,5\)

\(P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-0,6=0,4\)

\(P\left(\overline{C}\right)=1-P\left(C\right)=1-0,7=0,3\)

\(P\left(\overline{D}\right)=1-P\left(D\right)=1-0,8=0,2\)

Xác suất mục tiêu không bị bắn trúng bởi cả \(4\) khẩu pháo:(do các khẩu pháo bắn độc lập)

\(P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}\cap\overline{D}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right).P\left(\overline{C}\right).P\left(\overline{D}\right)=0,5.0,4.0,3.0,2=0,012\)

Xác suất mục tiêu bị bắn trúng:

\(P\left(trúng\right)=1-P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}\cap\overline{D}\right)=1-0,012=0,988=98.8\%\)

Câu 8:

a) Xét tam giác vuông \(ABC\) tại \(B:\)

\(tan\widehat{BAC}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{9}{14}\Rightarrow\widehat{BAC}=arctan\left(\dfrac{9}{14}\right)\approx33^o\)

Xét tam giác vuông \(ABD\) tại \(B:\)

\(\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=33^o+45^o=78^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=90^o-78^o=12^o\)

\(tan12^o=\dfrac{AB}{BD}\Rightarrow BD=\dfrac{AB}{tan12^o}=\dfrac{14}{tan12^o}=65,9\left(m\right)\)

\(\left(Pitago\right)\Rightarrow AD^2=AB^2+BD^2=14^2+65,9^2=4538,81\Rightarrow AD=67,4\left(m\right)\)

b) \(CD=BD-BC=65,9-9=56,9\left(m\right)\)

Tốc độ của xe máy là : \(56,9:6,5\approx8,8\left(m/s\right)\)

- Đặt gốc tọa độ \(O\) tại giao điểm của hai trục của hai khối trụ

- Chọn trục \(Ox;Oy\) lần lượt là trục của hai khối trụ

- Chọn trục \(Oz\) vuông góc với mặt phẳng \(Oxy\)

Khối trụ thứ nhất có trục \(Ox\), bất phương trình: \(y^2+z^2\le3^2=9\left(1\right)\)

Khối trụ thứ hai có trục \(Oy\), bất phương trình : \(x^2+z^2\le9\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\) Phần giao nhau \(\left(H\right)\) thỏa mãn \(\left(1\right)\&\left(2\right)\)

\(\Rightarrow V_{\left(H\right)}\) sẽ tính thể tích bằng cách cắt \(\left(H\right)\) theo các mặt phẳng vuông góc với trục \(Oz\)

Với mỗi giá trị \(z\) cố định trong khoảng \(\left[-3;3\right]\), mặt cắt là một hình vuông trong mặt phẳng \(Oxy\) với cạnh là \(\sqrt{9-z^2}+\sqrt{9-z^2}=2\sqrt{9-z^2}\)

Diện tích mặt cắt tại độ cao \(z\) là: \(S\left(z\right)=\left(2\sqrt{9-z^2}\right)^2=4\left(9-z^2\right)\)

\(\Rightarrow V_{\left(H\right)}=\int\limits^3_{-3}S\left(z\right)dz=\int\limits^3_{-3}4\left(9-z^2\right)dz=8\int\limits^3_0\left(9-z^2\right)dz\)  (Tính đối xứng)

\(\Rightarrow V_{\left(H\right)}=8\left[9z-\dfrac{z^3}{3}\right]^3_0=8\left(27-9\right)=144\left(đvtt\right)\)

Kiểm tra lại công thức thể tích giao của hai khối trụ có bán kính \(R\)

\(V=\dfrac{16R^3}{3}=\dfrac{16.3^3}{3}=144\left(thỏa\right)\)

Gọi \(P_n\) là xác suất con bọ ở đỉnh \(A\) sau khi bò \(n\left(mét\right)\)

      \(Q_n\) là xác suất con bọ ở một trong các đỉnh \(B;C;D\) sau khi bò \(n\left(mét\right)\)

- Từ \(A\), con bọ có \(3\left(cách\right)\) để đến \(B;C;D\), mỗi cách có xác suất là \(\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P_{n+1}=\dfrac{1}{3}Q_n\left(1\right)\) và \(P_0=1\) (Ban đầu con bọ ở đỉnh \(A\))

\(\Rightarrow\) Từ \(B;C;D\) con bọ có \(2\left(cách\right)\) để đến \(2\) đỉnh còn lại, mỗi cách có xác xuất là \(Q_{n+1}=P_n+\dfrac{2}{3}Q_n\left(2\right)\) và \(Q_0=0\) (Ban đầu con bọ không ở các đỉnh \(B;C;D\))

Ta tính lần lượt với \(n=0\rightarrow6\) của \(\left(1\right)\&\left(2\right)\)

\(n=0\Rightarrow P_1=\dfrac{1}{3}.0=0;Q_1=1+\dfrac{2}{3}.0=1\)

\(n=1\Rightarrow P_2=\dfrac{1}{3}.1=\dfrac{1}{3};Q_2=0+\dfrac{2}{3}.1=\dfrac{2}{3}\)

\(n=2\Rightarrow P_3=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9};Q_3=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{9}\)

\(n=3\Rightarrow P_4=\dfrac{1}{3}.\dfrac{7}{9}=\dfrac{7}{27};Q_4=\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{3}.\dfrac{7}{9}=\dfrac{20}{27}\)

\(n=4\Rightarrow P_5=\dfrac{1}{3}.\dfrac{20}{27}=\dfrac{20}{81};Q_5=\dfrac{7}{27}+\dfrac{2}{3}.\dfrac{20}{27}=\dfrac{61}{81}\)

\(n=5\Rightarrow P_6=\dfrac{1}{3}.\dfrac{61}{81}=\dfrac{61}{243};Q_6=\dfrac{20}{81}+\dfrac{2}{3}.\dfrac{61}{81}=\dfrac{182}{243}\)

\(n=6\Rightarrow P_7=\dfrac{1}{3}.\dfrac{182}{243}=\dfrac{182}{729}\)

\(\Rightarrow p=\dfrac{n}{729}=\dfrac{182}{729}\Rightarrow n=182\)

a) \(C\in y+3=0\Rightarrow C\left(x;-3\right)\)

\(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

\(\Rightarrow G\left(\dfrac{-3-4+x}{3};\dfrac{4+5-3}{3}\right)=\left(\dfrac{x-7}{3};2\right)\)

\(G\in x-y+5=0\Leftrightarrow\dfrac{x-7}{3}-2+5=0\Leftrightarrow x=-2\)

\(\Rightarrow C\left(-2;-3\right);G\left(-3;2\right)\)

b) \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1\right)\)

    \(\overrightarrow{AC}=\left(1;-7\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\left|-1.\left(-7\right)-1.1\right|=3\left(đvdt\right)\)

Vị trí máy thu nhận được tín hiệu sớm nhất là vị trí điểm \(M\left(x;y\right)\) trên đường thẳng \(2x-y+5=0\left(d\right)\) sao cho \(AM\perp\left(d\right)\)

\(\overrightarrow{AM}=\left(x+3;y-5\right)\)

\(\left(d\right):2x-y+5=0\Rightarrow\overrightarrow{u}=\left(1;2\right)\)

\(AM\perp\left(d\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right).1+\left(y-5\right).2=0\)

\(\Leftrightarrow x+2y-7=0\)

\(M\in\left(d\right)\&\left(AM\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y+5=0\\x+2y-7=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{5}\\y=\dfrac{19}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(x;y\right)=\left(-\dfrac{3}{5};\dfrac{19}{5}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{2}\left(x-y\right)=\dfrac{5}{2}\left(-\dfrac{3}{5}-\dfrac{19}{5}\right)=-11\)