Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

\(\Rightarrow G\left(\dfrac{3+2+1}{3};\dfrac{4+3+2}{3};\dfrac{1+2+9}{3}\right)=\left(2;3;4\right)\)

\(MA^2=\left|\overrightarrow{MA}\right|^2=\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right|^2=MG^2+GA^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}\)

Tương tự ta có : \(MB^2=MG^2+GB^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}\)

                           \(MC^2=MG^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}\)

\(\Rightarrow MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)

mà \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\))

\(\Rightarrow MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\)

\(\Leftrightarrow3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2=69\left(1\right)\)

\(GA^2=\left(3-2\right)^2+\left(4-3\right)^2+\left(1-4\right)^2=11\)

\(GB^2=\left(2-2\right)^2+\left(3-3\right)^2+\left(2-4\right)^2=4\)

\(GC^2=\left(1-2\right)^2+\left(2-3\right)^2+\left(9-4\right)^2=27\)

\(\left(1\right)\Rightarrow3MG^2+11+4+25=69\)

\(\Leftrightarrow3MG^2=27\)

\(\Leftrightarrow MG=3\)

Vậy tập hợp điểm \(M\) thoả mãn \(MA^2+MB^2+MC^2=69\) là mặt cầu tâm \(G\left(2;3;4\right)\) ;bán kính \(R=3\) có phương trình là :

\(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-4\right)^2=9\)

Cách 2:

Gọi abcde là số có 5 chữ số

- Ở vị trí a có 9 cách chọn (không lấy số 0)

- Ở vị trí b có 9 cách chọn (b khác a)

- Ở vị trí c có 8 cách chọn (c khác b khác a)

- Ở vị trí d có 7 cách chọn (...)

- Ở vị trí e có 6 cách chọn

Vậy có 9.9.8.7.6=27216 cách chọn thỏa đề bài

P(-2)=8a+4b+2c+d=0

⇒ d=-8a-4b-2c(1)

P(-1)= -a+b-c+d

(1)⇒P-1)=-a+b-c-8a-4b-2c=-9a-3b-3c=-3(3a+b+c)⋮3

Vậy P(-2)=0; P(-1) chia hết cho 3

Chỉnh sửa

Bỏ điểm \(\left(3;2\right)\) không phải là điểm cực biên vì nó nằm bên trong miền nghiệm, không phải giao điểm của các đường biên

\(\Rightarrow\) Số lãi cao nhất là \(52\) triệu đồng, đạt được khi sản xuất \(4\) sản phẩm \(A\) và \(1\) sản phẩm \(B\)

Vậy, số cần điền vào chỗ trống là \(52\)

Gọi \(x\) là số sản phẩm \(A\) sản xuất được trong một ngày

      \(y\) là số sản phẩm \(B\) sản xuất được trong một ngày

Theo đề bài ta có hệ bất phương trình :

Phân xưởng \(I:2x+2y\le10\Leftrightarrow x+y\le5\left(1\right)\)

Phân xưởng \(II:2y\le4\Leftrightarrow y\le2\left(2\right)\)

Phân xưởng \(III:2x+4y\le12\Leftrightarrow x+2y\le6\left(3\right)\)

Điều kiện : \(x\ge0;y\ge0\left(4\right)\)

Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp : \(L\left(x;y\right)=10x+12y\left(triệu.đồng\right)\)

Giải hệ bất phương trình \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right);\left(4\right)\) bằng đồ thị ta được :

Giao điểm của \(x+y=5\cap y=2\)  là \(\left(3;2\right)\Rightarrow L\left(3;2\right)=10.3+12.3=54\)

Giao điểm của \(x + 2y = 6 \cap y = 2\) là \(\left(2;2\right)\Rightarrow L\left(2;2\right)=10.2+12.2=44\)

Giao điểm của \(x + y = 5 \cap x + 2y = 6\) là \(\left(4;1\right)\Rightarrow L\left(4;1\right)=10.4+12.1=52\)

Các đỉnh \(\left(5;0\right)\Rightarrow L\left(5;0\right)=10.5+12.0=50;\left(0;2\right)\Rightarrow L\left(0;2\right)=10.0+12.2=24\)

\(\Rightarrow\) Số lãi cao nhất là \(54\) triệu đồng, đạt được khi sản xuất \(3\) sản phẩm \(A\) và \(2\) sản phẩm \(B\)

Vậy, số cần điền vào chỗ trống là \(54\)

Đã giải phía trên

\(A=\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{11}{5.6}-\dfrac{3}{6.9}-\dfrac{21}{9.12}+\dfrac{3}{12.15}\)

\(A=\dfrac{\left(5-3\right)}{3.5}+\dfrac{\left(6+5\right)}{5.6}-\dfrac{\left(9-6\right)}{6.9}-\dfrac{\left(9+12\right)}{9.12}+\dfrac{\left(15-12\right)}{12.15}\)

\(A=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{15}\)

\(A=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{4}{15}\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)z sao cho :

\(A\left(0;0;0\right);B\left(a;0;0\right);C\left(a;a;0\right);D\left(0;a;0\right);S\left(0;0;2a\right);M\left(\dfrac{a}{2};a;0\right)\)

\(\overrightarrow{SB}=\left(a;0;-2a\right)\)

\(\overrightarrow{SD}=\left(0;a;-2a\right)\)

\(\overrightarrow{n\left(SBD\right)}=\left[\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SD}\right]=\left(2a^2;2a^2;a^2\right)=\left(2;2;1\right)\)

\(\Rightarrow\left(SBD\right):2\left(x-a\right)+2\left(y-0\right)+\left(z-0\right)=0\) hay \(2x+2y+z-2a=0\)

\(d\left(M;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{\left|2.\dfrac{a}{2}+2.a+0-2a\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\dfrac{a}{3}\)

\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}=\dfrac{\left(a+b\right)^2-2ab}{a+b}=a+b-\dfrac{2ab}{a+b}\)

Tương tự \(\dfrac{b^2+c^2}{b+c}=b+c-\dfrac{2bc}{b+c};\dfrac{c^2+a^2}{c+a}=c+a-\dfrac{2ca}{c+a}\)

\(\Rightarrow Vế.trái=\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)-2\left(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\right)\)

\(=2\left(a+b+c\right)-2\left(\dfrac{ab}{-c}+\dfrac{bc}{-a}+\dfrac{ca}{-b}\right)=2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\right)\)

 \(\left(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;c+a=-b\right)\)

\(Vế.phải=\dfrac{a.a^2}{bc}+\dfrac{b.b^2}{ca}+\dfrac{c.c^2}{ab}\)

\(\dfrac{a.a^2}{bc}=\dfrac{a.\left(b^2+c^2+2bc\right)}{bc}=\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}+2a\right)\) (vì \(a+b+c=0\Rightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\))

Tương tự \(\dfrac{b.b^2}{ca}=\left(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ab}{c}+2b\right);\dfrac{c.c^2}{ab}=\left(\dfrac{ca}{b}+\dfrac{bc}{a}+2c\right)\)

\(\Rightarrow Vế.phải=2\left(a+b+c\right)+2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\right)=2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\right)=Vế.trái\)\(\RightarrowĐpcm\)

Ta có :

\(a^2+b^2=c^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=c^2\)

\(\Rightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-c^2\left(1\right)\)

\(2ab\) là số chẵn hay \(2ab⋮2\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2-c^2\) là số chẵn \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b⋮2\\c⋮2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+b+c⋮2\) nên ta đặt \(a+b+c=2k\left(k\in Z^+\right)\)

\(\left(1\right)\Rightarrow2ab=\left(2k-c\right)^2-c^2\)

\(\Rightarrow2ab=\left(2k-c+c\right)\left(2k-c-c\right)\)

\(\Rightarrow2ab=2k.\left(2k-2c\right)=4k.\left(k-c\right)\)

\(\Rightarrow ab=2k\left(k-c\right)=\left(a+b+c\right)\left(k-c\right)\)

\(\Rightarrow ab⋮\left(a+b+c\right)\left(đpcm\right)\)