\(A\left(x\right)=4x^3-2x^2+x-m+1999⋮\left(x-2\right)\)

\(\Rightarrow x=2\) là nghiệm của đa thức \(A\left(x\right)\)

\(\Rightarrow A\left(2\right)=0\)

\(\Rightarrow4.2^3-2.2^2+2-m+1999=0\)

\(\Rightarrow1961-m=0\)

\(\Rightarrow m=1961\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy:\) \(O\) tại chân tường; \(Ox\) chiều dươnghướng ra ngoài chân tường; \(Oy\) chiều dương hướng lên trên đầu thang

\(x\left(m\right):\) là khoảng cách từ chân thang đến tường

\(y\left(m\right):\) là chiều cao của đầu thang so với mặt đất

Chiều dài thang \(L=9\left(m\right)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=9^2=81\left(Pitago\right)\left(1\right)\)

Đạo hàm \(2\) vế theo thời gian \(t\) ta được :

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x.x'_t+2y.y'_t=0\)

\(\Leftrightarrow x.x'_t+y.y'_t=0\)

\(\Rightarrow y'_t=-\dfrac{x.x'_t}{y}\left(2\right)\)

Theo đề bài ta có :

 \(y=3;\left(1\right)\Rightarrow x^2+9=81\Leftrightarrow x^2=72\Leftrightarrow x=6\sqrt{2}\left(m\right)\)

mà \(x'_t=2\left(m/s\right)\) là vận tốc khi chân thang di chuyển

\(\left(2\right)\Rightarrow y'_t=-\dfrac{6\sqrt{2}.2}{3}=-4\sqrt{2}\approx-5,66\left(m/s\right)\)

Vậy vận tốc của đầu thang khi \(y=3\) là \(5,66\left(m/s\right)\) (hướng xuống dưới)

\(2x^2+y^2+xy+2x+2y=7\)

\(\Leftrightarrow y^2+\left(x+2\right)y+2x^2+2x-7=0\left(1\right)\)

\(\Delta=\left(x+2\right)^2-4\left(2x^2+2x-7\right)=-7x^2-4x+32\)

Để \(\left(1\right)\) có nghiệm \(y\in Z\) khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\Delta=-7x^2-4x+32\ge0;\forall x\in Z\left(2\right)\) và \(\Delta\) là số chính phương

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2-\sqrt{228}}{7}\le x\le\dfrac{-2+\sqrt{228}}{7};\forall x\in Z\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{-2;-1;0;1\right\}\)

\(x=-2\Rightarrow\Delta=-7.\left(-2\right)^2-4.\left(-2\right)+32=12\) (loại vì không phải số chính phương)

\(x=-1\Rightarrow\Delta=-7.\left(-1\right)^2-4.\left(-1\right)+32=29\) (loại vì không phải số chính phương)

\(x=0\Rightarrow\Delta=-7.0^2-4.0+32=32\) (loại vì không phải số chính phương)

\(x=1\Rightarrow\Delta=-7.1^2-4.1+32=21\) (loại vì không phải số chính phương)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) không thỏa

\(\Rightarrow\left(1\right)\) không thỏa

Vậy phương trình cho không có cặp số nguyên \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn đề bài

Câu 2 :

Vector chỉ phương của \(\left(d\right);\overrightarrow{u_d}=\left(1;-2;2\right)\)

Vector chỉ phương của \(Oy:\overrightarrow{u_{Oy}}=\left(0;1;0\right)\)

\(cos\left(\widehat{\left(d\right);\left(Oy\right)}\right)=\dfrac{\left|1.0+\left(-2\right).1+2.0\right|}{\sqrt{1+\left(-2\right)^2+2^2}.\sqrt{1^2}}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{\left(d\right);\left(Oy\right)}\right)=48,2^o\)

Câu 3 :

 Vector pháp tuyến của \(\left(P\right);\overrightarrow{n_P}=\left(1;-1;1\right)\)

 Vector chỉ phương của \(\left(d\right);\overrightarrow{u_d}=\left(3;2;-2\right)\)

\(sin\left(\widehat{\left(P\right);\left(d\right)}\right)=\dfrac{\left|1.3+\left(-1\right).2+1.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1+\left(-1\right)^2+1^2}.\sqrt{3^2+2^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{51}}\approx0,14\)

Câu 5 :

\(d\left(A;\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|1-2.2+2.3+3\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=\dfrac{6}{3}=2\)

\(P\left(x\right)=x^3+ax+b\)

\(P\left(x\right)⋮\left(x-2\right)\Rightarrow P\left(2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow8+2a+b=0\)

\(\Leftrightarrow2a+b=-8\left(1\right)\)

\(P\left(x\right)\) chia \(x+1\) dư \(6\Rightarrow P\left(-1\right)=6\)

\(\Leftrightarrow-1-a+b=6\Leftrightarrow-a+b=7\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-5\\b=2\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow a.b=\left(-5\right).2=-10\)

\(\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=5\)

\(\Rightarrow\) Tâm \(I\left(1;2\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}\)

\(IJ=\sqrt{\left(5-1\right)^2+\left(-2-2\right)^2}=4\sqrt{2}\)

\(d_I:\) là khoảng cách từ tâm \(I\) đến dây cung có độ dài \(\sqrt{2}\) được tạo bởi \(\left(J;b\right)\cap\left(C\right)\)

\(d_I=\sqrt{R^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{5-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

\(d_a:\) là khoảng cách từ tâm \(J\) đến dây cung có độ dài \(\sqrt{2}\) được tạo bởi \(\left(J;a\right)\cap\left(C\right)\)

\(d_a=IJ+d_I=4\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{11\sqrt{2}}{2}\)

\(d_b:\) là khoảng cách từ tâm \(J\) đến dây cung có độ dài \(\sqrt{2}\) được tạo bởi \(\left(J;b\right)\cap\left(C\right)\)

\(d_b=IJ-d_I=4\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=d_a^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\\b^2=d_b^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\left(\dfrac{11\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=61\\b^2=\left(\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=13\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=61-13=48\)

a) Giả sử \(M\left(2;-1;2\right)\in\left(P\right)\Leftrightarrow2.1+1+2.2-8=-3\ne0\Rightarrow Sai\)

b) \(\left(P\right):2x-y+2z-8=0\Rightarrow\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;2\right)\RightarrowĐúng\)

c) \(\left(Q\right)//\left(P\right)\Leftrightarrow\left(Q\right):2x-y+2z+D=0\)

\(A\left(3;2;-1\right)\in\left(Q\right)\Leftrightarrow2.3-2+2.\left(-1\right)+D=0\Leftrightarrow D=-2\)

\(\Rightarrow\left(Q\right):2x-y+2z-2=0\RightarrowĐúng\)

d) \(\left(R\right)\perp\left(Oxy\right):z=0\Rightarrow\overrightarrow{n_R}=\left(a;b;0\right)\)

\(\left(P\right)\perp\left(R\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_R}=0\Leftrightarrow2a-b+2.0=0\Leftrightarrow b=2a\)

\(\Rightarrow\left(R\right):ax+2ay+d=0\left(1\right)\)

\(D\left(B;\left(R\right)\right)=\dfrac{\left|a.\left(-3\right)+2a.1+d\right|}{\sqrt{a^2+\left(2a\right)^2}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|d-a\right|}{a\sqrt{5}}=\sqrt{5}\left(a>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left|d-a\right|=5a\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}d-a=5a\\d-a=-5a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}d=6a\\d=-4a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow d=-4a\left(a>0;d< 0\right)\)

\(\left(1\right)\&\left(a;b\right)=1\Rightarrow a=1\Rightarrow b=2.1=2;d=-4.1=-4\)

\(\Rightarrow b+d=2-4=-2\Rightarrow Sai\)

Bài 56 :

Thời gian dự kiến: \(10g30p-8g=2,5=\dfrac{5}{2}\left(giờ\right)\)

Thời gian thực tế: \(11g20p-8g=3g20p=3+\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}\left(giờ\right)\)

Gọi \(v>0\left(km/h\right)\) là vận tốc dự kiến

Quãng đường Hà Nội - Hải Phòng: \(S_1=\dfrac{5v}{2}\left(km\right)\)

Quãng đường thực tế: \(S_2=\dfrac{10\left(v-10\right)}{3}\left(km\right)\)

\(S_1=S_2\Leftrightarrow\dfrac{5v}{2}=\dfrac{10\left(v-10\right)}{3}\)

\(\Leftrightarrow15v=20v-200\)

\(\Leftrightarrow5v=200\)

\(\Leftrightarrow v=40\left(km/h\right)\)

Quãng đường Hà Nội - Hải Phòng: \(S_1=\dfrac{5.40}{2}=100\left(km\right)\)

Ta có :

\(\left(2+\sqrt{3}\right)^n=a_n+b_n\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{3}\right).\left(2+\sqrt{3}\right)^n=\left(2+\sqrt{3}\right)\left(a_n+b_n\sqrt{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{3}\right)^{n+1}=2a_n+2b_n\sqrt{3}+a_n\sqrt{3}+3b_n\)

\(\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{3}\right)^{n+1}=\left(2a_n+3b_n\right)+\left(a_n+2b_n\right)\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_{n+1}=2a_n+3b_n\left(1\right)\\b_{n+1}=a_n+2b_n\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(a_{n+1}=\alpha a_n+\beta b_n;\left(1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\alpha=2\\\beta=3\end{matrix}\right.\)

\(\left(2+\sqrt{3}\right)^n=a_n+b_n\sqrt{3}\)

\(\left(2-\sqrt{3}\right)^n=a_n-b_n\sqrt{3}\)  (Đẳng thức liên hợp)

\(\Rightarrow\left(2+\sqrt{3}\right)^n.\left(2-\sqrt{3}\right)^n=\left(a_b+b_n\sqrt{3}\right).\left(a_b-b_n\sqrt{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)\right]^n=a_n^2-3b_n^2\)

\(\Rightarrow a_n^2-3b_n^2=1^n=1\)

\(\Rightarrow a_{2024}^2-3b_{2024}^2=1\)

Vậy đáp án \(2\)   \(3\)   \(1\)

a) \(\overrightarrow{AB}=\left(-2;-1;1\right)\)

    \(\overrightarrow{DC}=\left(-2;-1;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\left(-2;-2;1\right)\Rightarrow\) \(ABCD\) là hình bình hành \(\RightarrowĐúng\)

b) \(AB=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2+1^2}=\sqrt{6}\RightarrowĐúng\)

c) \(E\in Oy\Rightarrow E\left(0;y;0\right)\)

\(\overrightarrow{BE}=\left(1;y;-1\right)\)

 \(\overrightarrow{CE}=\left(-1;y+2;-3\right)\)

Để tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CE}=0\Leftrightarrow-1+y^2+2y+3=0\Leftrightarrow y^2+2y+2=0\)

\(\Leftrightarrow y\in\varnothing\left(\Delta'=-1< 0\right)\Rightarrow Sai\)

d) Gọi \(M\left(x;y;z\right)\)

 \(MA=2MB\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1;y-1;z\right)=\dfrac{2}{3}\left(-2;-1;1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-3;3y-3;3z\right)=\left(-4;-2;2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-3=-4\\3y-3=-2\\3z=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\\z=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)

\(\Rightarrow OM=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}-0\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-0\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}-0\right)^2}=\sqrt{\dfrac{6}{9}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\RightarrowĐúng\)