Question

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ, một thiết bị âm thanh được phát từ vị trí \( A(-3;5) \). Người ta dự định đặt một máy thu tín hiệu trên đường thẳng có phương trình \( 2x - y + 5 = 0 \). Gọi \( M(x,y) \) là vị trí máy thu nhận được tín hiệu sớm nhất, khi đó \( \frac{5}{2}(x-y) \) bằng bao nhiêu?

Answer 1

Vị trí máy thu nhận được tín hiệu sớm nhất là vị trí điểm \(M\left(x;y\right)\) trên đường thẳng \(2x-y+5=0\left(d\right)\) sao cho \(AM\perp\left(d\right)\)

\(\overrightarrow{AM}=\left(x+3;y-5\right)\)

\(\left(d\right):2x-y+5=0\Rightarrow\overrightarrow{u}=\left(1;2\right)\)

\(AM\perp\left(d\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right).1+\left(y-5\right).2=0\)

\(\Leftrightarrow x+2y-7=0\)

\(M\in\left(d\right)\&\left(AM\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y+5=0\\x+2y-7=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{5}\\y=\dfrac{19}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(x;y\right)=\left(-\dfrac{3}{5};\dfrac{19}{5}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{2}\left(x-y\right)=\dfrac{5}{2}\left(-\dfrac{3}{5}-\dfrac{19}{5}\right)=-11\)