x⁸+98x⁴+1

= (x⁸+2x⁴+1)+96x⁴

= (x⁴+1)²+96x⁴

= (x⁴+1)²+16x²(x⁴+1) - 16x²(x⁴+1) +64x⁴+32x⁴

= [(x⁴+1)²+16x²(x⁴+1) +64x⁴]-16x²(x⁴+1)+32x⁴

= (x⁴+8x²+1)²-16x²(x⁴+1-2x²)

= (x⁴+8x²+1)²-16x²(x²-1)²

= (x⁴+8x²+1)² - (4x³-4x)²

= (x⁴+4x³+8x²-4x+1)(x⁴-4x³+8x²+4x+1)

Có 5040=16.9.5.7

A= n³(n²-7)²-36n

= n.[ n²(n²-7)²-36]

= n.[(n³-7n)²-36]

= n.(n³-7n-6)(n³-7n+6)

Có :

\(\cdot\) n³-7n-6

= n³-9n+2n-6

= n(n²-9)+2(n-3)

= n(n+3)(n-3)+2(n-3)

= (n-3)(n+1)(n+2)

\(\cdot\) n³-7n+6

= n³-9n+2n+6

= n(n-3)(n+3)+2(n+3)

= (n+3)(n-1)(n-2)

\(\Rightarrow A=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n-2\right)n\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)\)

Đây là tích 7 số nguyên liên tiếp , trong 7 số nguyên liên tiếp đó có

\(-\) Tồn tại 1 bội số của 5 \(\Rightarrow A⋮5\)

\(-\) Tồn tại 1 bội số của 7 \(\Rightarrow A⋮7\)

\(-\) Tồn tại 2 bội số của 3 \(\Rightarrow A⋮9\)

\(-\) Tồn tại 3 bội số của 2 , trong đó có 1 bội số của 4 \(\Rightarrow A⋮16\)

\(\Rightarrow A⋮9.16.5.7\)

\(\Rightarrow A⋮5040\left(đpcm\right)\)

a. \(-\frac{13}{6}:\frac{25}{7}+\frac{7}{25}.\left(-\frac{17}{6}\right)\)

\(=-\frac{13}{6}.\frac{7}{25}+\frac{7}{25}.\left(-\frac{17}{6}\right)\)

\(=\frac{7}{25}.\left[\left(-\frac{13}{6}\right)+\left(-\frac{17}{6}\right)\right]\)

\(=\frac{7}{25}.\left(-\frac{30}{6}\right)\)

\(=-\frac{7}{5}\)

b. \(\frac{-4^5.3^5}{2^4.6^4}+2015^0=\frac{\left(-4.3\right)^5}{\left(2.6\right)^4}+1=\frac{-12^5}{12^4}+1=-12+1=-11\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a+b\right|\le\left|a\right|+\left|b\right|\) ta được

\(\Rightarrow\left|x-2+5-x\right|\le\left|x-2\right|+\left|5-x\right|\)

\(\Rightarrow A\ge3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x-2\ge0\\5-x\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\le x\le5\)

Vậy \(A_{min}=3\) xảy ra khi \(2\le x\le5\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\cdot\)\(\) x²+y² ≥ 2xy

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-2xy\ge2xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\cdot\) y²+z² ≥2yz

\(\Rightarrow\left(y+z\right)^2-2yz\ge2yz\)

\(\Rightarrow\left(y+z\right)^2\ge4yz\)

\(\cdot\) x²+z² ≥ 2xz

\(\Rightarrow\left(x+z\right)^2-2xz\ge2xz\)

\(\Rightarrow\left(x+z\right)^2\ge4xz\)

Hai vế của bất đẳng thức trên đều không âm, nhân từng vế

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2\ge64x^2y^{2^{ }}z^2\)

\(\Rightarrow\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\right]^2\ge\left(8xyz\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8xyz\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)

violympic đang bảo trì để thêm chức năng mới

Do giá trị tuyệt đối của 1 số lớn hơn hoặc bằng số đó nên

\(\left|x\right|-\left|x-2\right|\le\left|x-x+2\right|\)

\(\Rightarrow\left|x\right|-\left|x-2\right|\le2\)

\(\Rightarrow\) \(Max_A=2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge0\\x-2\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge2\)

Vậy Max_A = 2 với x ≥ 2

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a-b\right|\ge\left|a\right|-\left|b\right|\)

\(\Rightarrow\left|x-x+2\right|\ge\left|x\right|-\left|x-2\right|\)

\(\Rightarrow2\ge\left|x\right|-\left|x-2\right|\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x\ge0\\x-2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x\ge2\)

Vậy A_max =2 xảy ra khi \(x\ge2\)