Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\cdot\)\(\) x2+y2 ≥ 2xy
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-2xy\ge2xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\cdot\) y2+z2 ≥2yz
\(\Rightarrow\left(y+z\right)^2-2yz\ge2yz\)
\(\Rightarrow\left(y+z\right)^2\ge4yz\)
\(\cdot\) x2+z2 ≥ 2xz
\(\Rightarrow\left(x+z\right)^2-2xz\ge2xz\)
\(\Rightarrow\left(x+z\right)^2\ge4xz\)
Hai vế của bất đẳng thức trên đều không âm, nhân từng vế
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2\ge64x^2y^{2^{ }}z^2\)
\(\Rightarrow\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\right]^2\ge\left(8xyz\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8xyz\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\z+x\ge2\sqrt{zx}\end{matrix}\right.\)
Nhân vế theo vế ta được :
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\sqrt{x^2y^2z^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\left(đpcm\right)\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y=z=0\)
