Question

cho x,y,z là cạnh 1 ∆. cmr 1/x+y-z +1/x+z-y +y+z-x>= 1/x+1y+1/z

Answer 1

Do x;y;z là các cạnh của 1 tam giác nên \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-z>0\\y+z-x>0\\z+x-y>0\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\frac{1}{x+y-z}+\frac{1}{x+z-y}\ge\frac{4}{x+y-z+x+z-y}=\frac{2}{x}\)

Tương tự: \(\frac{1}{x+y-z}+\frac{1}{y+z-x}\ge\frac{2}{y}\) ; \(\frac{1}{y+z-x}+\frac{1}{x+z-y}\ge\frac{2}{z}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{1}{x+y-z}+\frac{1}{y+z-x}+\frac{1}{x+z-y}\right)\ge\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y-z}+\frac{1}{y+z-x}+\frac{1}{z+x-y}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)