Chứng minh rằng với mọi giá tyrij nguyên n , ta có

a)n3+3n2+2n chia hết cho 6

b)(n2+n−1)2−1 chia hết cho 24

Có \(\dfrac{x-1}{x^3+1}\) \(=\dfrac{x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

MTC : \(\text{(x+1)(x^2-x+1)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x-1}{x^3+1}\) \(=\dfrac{x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2x}{x^2-x+1}=\dfrac{2x\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{2\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

mà cũng có thể

\(\left|x-1,7\right|+\left|3,6-x\right|=0\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a+b\right|\le\left|a\right|+\left|b\right|\)

\(\Rightarrow\left|x-1,7+3,6-x\right|\le\left|x-1,7\right|+\left|3,6-x\right|\)

\(\Rightarrow1,9\le0\) ( vô lí)

\(\Rightarrow\) phương trình trên vô nghiệm

Có phải ý bạn là \(\left|x-1,7\right|-\left|3,6-x\right|\)=0

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a-b\right|\ge\left|a\right|-\left|b\right|\)

\(\Rightarrow\left|x-1,7-3,6+x\right|\ge\left|x-1,7\right|-\left|3,6-x\right|\)

\(\Rightarrow\left|2x-5,3\right|\ge0\)

\(\Rightarrow2x\ge5,3\)

\(\Rightarrow x\ge2,65\)

\(Dấu\) \(bằng\) \(xảy\) \(ra\) \(khi\) \(\text{x =2,65}\)

Ta có: 1901⁴= (1901.1901).(1901.1901)

Vì 1901 ko chia hết cho 2014 => 1901.1901 ko chia hết cho 2014

Vì cả 2 vế (1901.1901) và (1901.1901) đều ko chia hết cho 2014

=> (1901.1901).(1901.1901) ko chia hết cho 2014

=> 1901⁴ ko chia hết cho 2014

a)

n³+3n²+2n

= n³+ n²+2n²+2n

= n²(n+1) +2n(n+1)

= ( n+1)n(n+2)

Có n(n+1)(n+2) chia hết cho 6 vì là tích của 3 số nguyên liên tiếp

b)

(n²+n-1)²-1

= (n²+n-1-1)(n²+n-1+1)

= (n²+n-2)(n²+n)

= [ (n²-n) + (2n-2)] n (n+1)

= [ n(n-1) + 2(n-1)] n (n+1)

= n(n-1)(n+1)(n+2)

Có n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

mà n(n-1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và(n+1)(n+2) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2

nên n(n-1)(n+1)(n+2) chia hết cho 4

\(\Rightarrow\) n(n-1)(n+1)(n+2) chia hết cho 24

Có a³+b³

= a³+b³+3a²b+3ab²-3a²b-3ab²

= a³+3a²b+3ab²+b³-3a²b-3ab²

= (a+b)³-3ab(a+b)

Thay a+ b = 9 và ab= 20 ta được

9³ - 3.20.9

= 729 - 540

= 189

Vậy a³+b³=189