b)

cộng 1 vào từng số hạng hai vế=> tử các số hạng đề =x+2009

\(\left(x+2009\right)\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2007}+\frac{1}{2006}\right)=\left(x+2009\right)\left(\frac{1}{2005}+\frac{1}{2004}+\frac{1}{2003}\right)\)

\(\left(x+2009\right)\left(.....\right)=0\)

cái (...) khác 0=> x=-2009 là nghiệm duy nhất

đặt (x^2+x)=y

<=> y^2+4y+4=16

<=> (y+2)^2=4^2

TH1: y+2=4=> y=2

=> x^2+x=2<=> (x+1/2)^2=9/4\(\left[\begin{matrix}x_1=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1\\x_2=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-2\end{matrix}\right.\)

TH2: y+2=-4=> x^2+x=-6 vô nghiệm

Kết luận:

phương trình có nghiệm

x={-2,1}

\(\left(x-7\right)\left(x-2\right)=x^2-9x+14\)

\(\left(x-5\right)\left(x-4\right)=x^2-9x+20\)

Đặt x^2-9x+14=y

\(y\left(y+6\right)=72\Leftrightarrow y^2+6y-72=0\)

\(\Delta'_y=3^2+72=81\)

\(\left\{\begin{matrix}y_1=-3+9=6\\y_2=-3-9=-12\end{matrix}\right.\)

\(x^2-9x+26=>\left(vonghiem\right)\)

\(x^2-9x+8=0\)

(a+b+c=0)

x₁=1

x₂=8

Kết luận:

pt đã chó có hai N₀ x₁=1 và x₂=8

\(0\le x,y\le9\) (*)

dấu hiệu chia hết cho 9:

6+2+x+y+4+2+7=x+y+21 chia hết cho 9

dấu hiệu chia hết cho: 11:

(6+x+4+7)-(2+y+2)= x-y+13 chia hết cho 11

Từ đk (*)

\(0\le x+y\le18\) => x+y+21=27 hoặc 36 (1)

\(-9\le x-y\le9\) =>x-y+13=11 hoạc 22 (2)

*/với x-y=22-13=9=> y=0 và x=9

Loại không thỏa mãn (1) chia hết cho 9

*/ với x-y=11-13=2=> y=x+2 thay vào (1)

x+x+2+21=36 (loại )

x+x+2+21=27

2x=27-23=4=> \(\left\{\begin{matrix}y=4\\x=2\end{matrix}\right.\)

Kết luận: x=2 và y=4

\(\sqrt{x}=y\\ \)

ĐK: \(x\ne0,1,4\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}y>0\\y\ne1\&4\end{matrix}\right.\) ko sửa được y khác 1 &2

\(P=\left(\frac{\left(1-y\right)}{\left(y-2\right)}+\frac{y}{\left(y-1\right)}+\frac{y+2}{\left(y-1\right)\left(y-2\right)}\right):\left(\frac{2}{y-2}-\frac{y-1}{y\left(y-2\right)}\right)\)

\(P=\left(\frac{2y-y^2-1}{\left(y-2\right)\left(y-1\right)}+\frac{y^2-2y}{\left(y-1\right)\left(y-2\right)}+\frac{y+2}{\left(y-1\right)\left(y-2\right)}\right):\left(\frac{2y-y+1}{y\left(y-2\right)}\right)\)

\(P=\left(\frac{y+1}{\left(y-1\right)\left(y-2\right)}\right).\left(\frac{y\left(y-2\right)}{\left(y+1\right)}\right)=\frac{y}{y-1}\)

a) \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

b)\(x=6-2\sqrt{5}=5-2\sqrt{5}+1=\left(\sqrt{5}-1\right)^2\)

\(p=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{\sqrt{5}-2}=\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+2\right)=3-\sqrt{5}\)

C)\(\frac{P}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\ge-1\) tuy nhiên đk: x khác 0=> dấu đẳng thức không xẩy ra (xem lại đề)

\(\Leftrightarrow mx-m+2nx+5n=2x+3\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2n\right)x+5n-m=2x+3\)

Để pt có vo số N_o cần VT=VP hay m,n thỏa mãn hệ pt

\(\left\{\begin{matrix}2n+m=2\\5n-m=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow7n=5\Rightarrow\left\{\begin{matrix}n=\frac{5}{7}\\m=\frac{4}{7}\end{matrix}\right.\)

Kết luận:

với \(\left\{\begin{matrix}n=\frac{5}{7}\\m=\frac{4}{7}\end{matrix}\right.\) pt đã cho nghiệm mọi x thuộc R

có vẻ (x^2+x+1) thiếu cái mũ 2 hả

Đề thế nào làm vậy:

\(\left(x^2+x+1\right)-2x^2=2x^2-2\Leftrightarrow3x^2-x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-\frac{1}{3}x=1\Leftrightarrow\left(x^2-2.\frac{1}{6}x+\frac{1}{36}\right)=1+\frac{1}{36}=\frac{37}{36}\) {lẻ quá có lẽ do đề sai lẻ thế này}

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{6}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{37}}{6}\right)^2\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=\frac{1-\sqrt{37}}{6}\\x=\frac{1+\sqrt{37}}{6}\end{matrix}\right.\)

\(x^6+y^6=\left(x^2\right)^3+\left(y^2\right)^3=\left(x^2+y^2\right)\left[\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2\right]\)

\(P=1-3\left(xy\right)^2\)

để P đạt giá trị Lớn nhất cần (xy)^2 nhỏ nhất (*)

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Rightarrow1-2xy\ge0\)(1)

\(\left(x+y\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+2xy\ge0\Rightarrow1+2xy\ge0\left(2\right)\)

Từ (1)&(2)\(\Rightarrow1-4\left(xy\right)^2\ge0\Rightarrow\left(xy\right)^2\le\frac{1}{4}\)(**)

Từ (*)&(**)\(\Rightarrow P\le1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\) đẳng thức khi \(!x!=!y!=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Kết luận: GTLN của P=1/4 khi /x/=/y/=căn(2)/2

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)x=m+3\)

m thuộc Z => 2m+1 khác 0;

\(\Leftrightarrow x=\frac{m+3}{2m+1}\) để x thuộc Z thì (m+3) phải chia hết cho (2n+1)

Ta có:d= (m+3,2n+1)=5

với d=2,4 hiển nhiên không phải ước chung vì 2m+1 luôn lẻ

với d=3 => m=3k => mẫu không chia hết cho 3

Vậy chỉ có thể d=5 (duy nhất)=> m+3=5k

\(x=\frac{m+3}{2m+1}=\frac{5k}{5\left(2k-1\right)}=\frac{k}{2k-1}\)

với k=0=> m=-3=> x=0

với k=1=>m=2=> x=1

với k>1 hiển nhiên mẫu > tử => x không nguyên

Kết luận:

với m ={1,2} thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là một số nguyên

\(f\left(x\right)=\frac{6x^3+ax^2-34x+b}{3x^2-8x+11}=\frac{2x\left(3x^2-8x+11\right)+\left(a+16\right)x^2-56x+b}{3x^2-8x+11}=2x+\frac{\frac{a+16}{3}\left(3x^2-8x+11\right)+\left(\frac{a+16}{3}-56\right)x+b-\frac{11\left(a+16\right)}{3}}{3x^2-8x+11}\)

\(f\left(x\right)=2x+\frac{a+16}{3}+\frac{\left(\frac{a+16}{3}-56\right)x+b-\frac{11\left(a+16\right)}{3}}{3x^2-8x+11}\)

a, b phải thỏa mãn hệ

\(\left\{\begin{matrix}\frac{a+16}{3}-56=0\\b-\frac{11\left(a+16\right)}{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=3.56-16=152\\b=11.56=616\end{matrix}\right. \)