Bài tập cuối chương II

Hướng dẫn giải

D 

(Trả lời bởi TĐ. Rinnnn (10A3))

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của CC’ nên \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + 2\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

Chọn B.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chọn D

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

Tam giác ACD có ba cạnh bằng a nên tam giác ACD đều, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác CBD có ba cạnh bằng a nên tam giác CBD đều, BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng định côsin vào tam giác ABM ta có:

\(\cos \widehat {BAM} = \frac{{A{M^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2AB.MB}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right) = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Chọn B

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {1 - 2; - 2 + 0;2 + 3} \right) = \left( { - 1; - 2;5} \right)\) nên A đúng.

\(\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {1 + 2; - 2 - 0;2 - 3} \right) = \left( {3; - 2; - 1} \right)\) nên B đúng.

\(3\overrightarrow a  = \left( {3.1;3.\left( { - 2} \right);3.2} \right) = \left( {3; - 6;6} \right)\) nên C sai.

\(2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {2.1 - 2;2.\left( { - 2} \right) + 0;2.2 + 3} \right) = \left( {0; - 4;7} \right)\) nên D đúng.

Chọn C

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3;1; - 4} \right)\). Gọi tọa độ của điểm D là D(x; y; z) thì \(\overrightarrow {DC} \left( {3 - x;2 - y;2 - z} \right)\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = 3 - x\\1 = 2 - y\\ - 4 = 2 - z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\\z = 6\end{array} \right.\)

Do đó, tọa độ của điểm D là \(\left( {0;1;6} \right)\)

Chọn C

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.2 - 1 - 0 = 5\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.1 - 0 + 1 = 4\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.0 + 1 - 2 =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ điểm C là \(\left( {5;4; - 1} \right)\)

Chọn A

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2.\left( { - 2} \right) + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).2 =  - 11\)

Chọn B

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\cdot0+1\cdot\left(-1\right)+\left(-2\right)\cdot1=-1-2=-3\)

\(cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{-3}{\sqrt{2^2+1^2+\left(-2\right)^2}\cdot\sqrt{0^2+\left(-1\right)^2+1^2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

=>\(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=135^0\)

=>Chọn B

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

\(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 2} \right).1 + 2.\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {2^2} + } .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\)

Chọn A

(Trả lời bởi datcoder)