Bài tập cuối chương II

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra \(\overrightarrow {OC}  =  - \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OD}  =  - \overrightarrow {OB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OC}  = 2\overrightarrow {SO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OA} } \right) = 2\overrightarrow {SO} \)

\(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OD}  = 2\overrightarrow {SO}  + \left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OB} } \right) = 2\overrightarrow {SO} \)

Do đó, \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 2\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {NC}  = 2\overrightarrow {DN}  \Rightarrow \overrightarrow {CN}  =  - 2\overrightarrow {DN} \)

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN} \) (1)

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN}  =  - 2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {BC}  - 2\overrightarrow {DN} \) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

\(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  - 2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {BC}  - 2\overrightarrow {DN}  =  - \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Vì G là trọng tâm của tam giác BDA' nên
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G D}+\overrightarrow{G A^{\prime}}=\overrightarrow{0} \\
& \Leftrightarrow \overrightarrow{G A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{A A^{\prime}}=\overrightarrow{0} \\
& \Leftrightarrow 3 \overrightarrow{G A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A^{\prime}}=\overrightarrow{0} \\
& \Leftrightarrow \overrightarrow{A G}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A^{\prime}}\right)
\end{aligned}
$$
b) Vì $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp ta có:
$$
\overrightarrow{A C^{\prime}}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A^{\prime}}(2)
$$

Từ (1) và (2), ta có $\overrightarrow{A G}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C^{\prime}}$.
Vậy ba điểm $\mathrm{A}, \mathrm{G}$ và C' thẳng hàng.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{2 + 1 - 1}}{3} = \frac{2}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ - 1 + 1 + 0}}{3} = 0\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{3 - 1 + 2}}{3} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ trọng tâm G là: G\(\left( {\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}} \right)\).

b) Vì M thuộc trục Oz nên M(0; 0; z).

Ta có: \(\overrightarrow {BM} \left( { - 1; - 1;z + 1} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 3;1; - 1} \right)\)

Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên

\(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).1 + \left( {z + 1} \right)\left( { - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2 - z - 1 = 0 \Leftrightarrow z = 1\).

Vậy M(0; 0; 1) thì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: O(0; 0; 0)

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {OO'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} - {x_A} = {x_{O'}} - {x_O}\\{y_{A'}} - {y_A} = {y_{O'}} - {y_O}\\{z_{A'}} - {z_A} = {z_{O'}} - {z_O}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = {x_{O'}} - {x_O} + {x_A} = 3\\{y_{A'}} = {y_{O'}} - {y_O} + {y_A} = 1\\{z_{A'}} = {z_{O'}} - {z_O} + {z_A} = 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {3;1;3} \right)\)

\(\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {OO'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - {x_C} = {x_{O'}} - {x_O}\\{y_{C'}} - {y_C} = {y_{O'}} - {y_O}\\{z_{C'}} - {z_C} = {z_{O'}} - {z_O}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = {x_{O'}} - {x_O} + {x_C} = 0\\{y_{C'}} = {y_{O'}} - {y_O} + {y_C} = 0\\{z_{C'}} = {z_{O'}} - {z_O} + {z_C} = 5\end{array} \right. \Rightarrow C'\left( {0;0;5} \right)\)

Vì ABCO là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {OA}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + 1 = 2\\{y_B} - 2 = 3\\{z_B} - 3 = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1\\{y_B} = 5\\{z_B} = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1;5;4} \right)\)

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên \(\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {OO'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - 1 = 1\\{y_{B'}} - 5 =  - 2\\{z_{B'}} - 4 = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = 2\\{y_{B'}} = 3\\{z_{B'}} = 6\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {2;3;6} \right)\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow u  = \overrightarrow a  - 2\overrightarrow b  = \left( { - 2 - 2.1;1 - 2.1;2 - 2\left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 4; - 1;4} \right)\)

b) \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {33} \)

c) \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 2} \right).1 + 1.1 + 2.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - 4; - 1 - 2;2 + 1} \right) = \left( { - 3; - 3;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 3 \)

b) Gọi M (x; y; z) thì \(\overrightarrow {MC}  = \left( { - x; - 2 - y,3 - z} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {MC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x =  - 3\\ - 2 - y =  - 3\\3 - z = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.\). Do đó, M(3; 1; 0).

c) Vì N thuộc mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ điểm N là N(x; y; 0)

Ta có: \(\overrightarrow {AN} \left( {x - 4;y - 2;1} \right);\overrightarrow {BN} \left( {x - 1;y + 1; - 2} \right)\)

Để A, B, N thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {BN} \) cùng phương. Do đó, \(\overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {BN} \) (với k là số thực bất kì)

Suy ra, \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = k\left( {x - 1} \right)\\y - 2 = k\left( {y + 1} \right)\\1 =  - 2k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 =  - \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\\y - 2 =  - \frac{1}{2}\left( {y + 1} \right)\\k = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy N(3; 1)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau:

+ Gốc O trùng với một góc của phòng

+ Mặt phẳng (Oxy) trùng với trần nhà, mặt phẳng (Oxz) và mặt phẳng (Oyz) trùng với hai bức tường (như hình vẽ).

Tọa độ của bóng đèn lúc đầu là A(1,6; 1,2; 0,5)

Tọa độ bóng đèn sau khi di chuyển là: B(1,5; 1,5; 0,4)

(Trả lời bởi datcoder)