Bài 11. Nguyên hàm

Cho hai hàm số \(f\left(x\right)=x^2+1\) và \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^3+x\) với \(x\in\text{ ℝ}\).

a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).

b) F'(x) và f(x) có bằng nhau không?

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x}\) trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)?

\(F\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^2+\ln x;G\left(x\right)=\dfrac{x^2}{2}-\ln x\).

Cho hàm số f(x) = x³.

a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left(x\right)=\dfrac{x^4}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\text{ℝ}\).

b) Hàm số \(G\left(x\right)=\dfrac{x^2}{4}+C\) (với C là hằng số) có một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\text{ℝ}\) không? Vì sao?

Tìm \(\int x^3dx\).

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.

a) Chứng minh kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về \(\int kf\left(x\right)\)dx và \(k\int f\left(x\right)\)dx.

Cho hàm số f(x) = xn (n ∈ ℕ*).

a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left(x\right)=\dfrac{x^{n-1}}{n+1}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm \(\int x^ndx\).

b) Từ kết quả câu a, tìm \(\int kx^ndx\) (k là hằng số khác 0).

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

a) Chứng minh F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về \(\int\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx\) và \(\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx\).

Tìm:

a) \(\int\left(3x^2+1\right)dx;\)                        b) \(\int\left(2x-1\right)^2dx\).