Bài 11. Nguyên hàm

Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số lũy thừa y = x^α (x > 0), hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với x > 0: \(y=\dfrac{1}{x^4};y=x^{\sqrt{2}};y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\).

a) Với α ≠ −1, tính đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\left(x>0\right).\)

b) Cho hàm số y = ln|x| (x ≠ 0). Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp: x > 0 và x < 0.

Tìm:

a) \(\int\dfrac{1}{x^4}dx;\)                     b) \(\int x\sqrt{x}dx\) (x > 0);                  c) \(\int\left(\dfrac{3}{x}-5\sqrt[3]{x}\right)dx\) (x > 0).

Tìm:

a) \(\int\left(3\cos x-4\sin x\right)dx;\)                       b) \(\int\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-\dfrac{1}{\sin^2x}\right)dx.\)

Tìm:

a) \(\int4^xdx;\)                       b) \(\int\dfrac{1}{e^x}dx;\)                        c) \(\int\left(2.3^x-\dfrac{1}{3}.7^x\right)dx.\)

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) F(x) = xlnx và f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞);

b) F(x) = e^sinx và f(x) = e^cosx trên ℝ.

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 3x² + 2x – 1;                         b) f(x) = x³ – x;

c) f(x) = (2x + 1)²;                              d) \(f\left(x\right)=\left(2x-\dfrac{1}{x}\right)^2\).

Tìm: 

a) \(\int\left(3\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)dx;\)                       b) \(\int\left(7x^2-3\right)dx\) (x > 0);

c) \(\int\dfrac{\left(2x+1\right)^2}{x^2}dx;\)                                d) \(\int\left(2^x+\dfrac{3}{x^2}\right)dx.\)