Question

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x}\) trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)?

\(F\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^2+\ln x;G\left(x\right)=\dfrac{x^2}{2}-\ln x\).

Answer 1

a) Ta có: \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + \ln x} \right)' = x + \frac{1}{x}\)

Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(G'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln x} \right)' = x - \frac{1}{x}\)

G(x) không phải là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) vì với \(x = 1\) ta có:

\(G'\left( 1 \right) = 0 \ne 2 = f\left( 1 \right)\).