Do \(3n+1;4n+1\) đều là số chính phương, đặt \(\left\{{}\begin{matrix}3n+1=a^2\\4n+1=b^2\end{matrix}\right.\) (1) với a; b nguyên dương
Mà n nguyên dương \(\Rightarrow n\ge1\Rightarrow3n+1\ge3+1=4\Rightarrow a\ge2\)
Ta có: \(4a^2-b^2=4\left(3n+1\right)-\left(4n+1\right)=8n+3\)
\(\Rightarrow\left(2a-b\right)\left(2a+b\right)=8n+3\)
TH1: \(2a-b=1\)
\(\Rightarrow b=2a-1\)
Thay vào (1): \(\left\{{}\begin{matrix}3n+1=a^2\\4n+1=\left(2a-1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4\left(3n+1\right)=4a^2\\3\left(4n+1\right)=3\left(2a-1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n+4=4a^2\\12n+3=12a^2-12a+3\end{matrix}\right.\)
Trừ vế cho vế:
\(1=4a^2-\left(12a^2-12a+3\right)\)
\(\Rightarrow2a^2-3a+1=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (đều ko thỏa mãn \(a\ge2\)) => loại
TH2: \(2a-b>1\) \(\Rightarrow2a+b>2a-b>1\)
\(\Rightarrow8n+3\) có ít nhất 3 ước dương lớn hơn 1 là \(2a-b;2a+b;\left(2a-b\right)\left(2a+b\right)\) nên \(8n+3\) là hợp số (đpcm)
