Question

Xác định đa thức P(x) biết P(x) chia cho \(\left(x-2\right)\) thì dư 1, chia cho \(\left(x+1\right)\) thì dư 2, chia cho \(\left(x^2-x-2\right)\) thì được thương \(\left(2x-1\right)\) và còn dư

Answer 1

Áp dụng định lý Bezout ta có:

\(P\left(x\right)\)chia cho x-2 dư 1 \(\Rightarrow P\left(2\right)=1\left(1\right)\)

\(P\left(x\right)\)chia cho x+1 dư 2 \(\Rightarrow P\left(-1\right)=2\left(2\right)\)

Vì \(P\left(x\right)\)chia cho \(x^2-x-2\)thì được thương 2x-1 và còn dư

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x^2-x-2\right)\left(2x-1\right)+ax+b\)

                  \(=\left(x^2+x-2x-2\right)\left(2x-1\right)+ax+b\)

                   \(=\left[x\left(x+1\right)-2\left(x+1\right)\right]\left(2x-1\right)+ax+b\)

                   \(=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(2x-1\right)+ax+b\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-a+b=2\\2a+b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{-1}{3}\\b=\frac{5}{3}\end{cases}\left(4\right)}\)

Thay (4) vào (3) ta được:

\(P\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(2x-1\right)-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)