Question

`x^2 -2(m+1)x+2m+10=0`

Tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt `x_1 ,x_2` sao cho \(A=14x_1x_2+x_1^2+x^2_2\) đạt min

Answer 1

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m+10\right)=m^2-9\)

Pt có 2 nghiệm khi \(m^2-9\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le-3\end{matrix}\right.\)

Khi đó theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m+10\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2+14x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2+12x_1x_2\)

\(=4\left(m+1\right)^2+12\left(2m+10\right)\)

\(=4\left(m+4\right)^2+60\ge60\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m+4=0\Rightarrow m=-4\) (thỏa mãn)