Question

với \(n\in N\) chứng minh rằng 

\(\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\in N\)

Answer 1

Đặt a=3+sqrt(5);b=3-sqrt(5). Đắt S(n)=a^n+b^n. Bây giờ Bạn chứng minh S(n+2)=(a+b)S(n+1)-ab.S(n)=6S(n+1)-S(n)(1). Xét S(1) là stn, từ 1 =>S(2) cũng là stn, S(3),... S(n)=>đccm

Answer 2

cho x;y;z>0 tm \(x^2+y^2+z^2=3xyz.CMR\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{Y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{3}{2}\)

Answer 3

Đặt a=\(3+\sqrt{5}\);b=\(3-\sqrt{5}\);\(S_n=a^n+b^n\)

=>a+b=6;ab=1.

Ta cm.\(S_{n+2}=\left(a+b\right)S_{n+1}-ab.S_n\)(Tách hết ra là xong).

\(=>S_{n+2}=6S_{n+1}-S_n\left(1\right)\)

xét S(1) \(\in N\left(=6\right)\)

từ 1=> S(2) là số tự nhiên, S3, S4,... Sn

Answer 4

b15 ad bđt svacso có  

vt<=\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^4+y^4+z^4+xy+yz+zx}\)

ad bđt côsi (x+y+z)^2<=9xyz

x^4+y^4+z^4+xy+yz+zx>=6xyz

=> đpcm

Answer 5

Cái bài BĐT:Đặt VT=S.

\(\frac{x^2}{x^4+yz}< =\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}\)

(BĐT Cauchy)

Làm tương tự=>S<=\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)< =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

(BĐT a+b+c>= căn ab+căn bc+ căn ca).

Ta lại có x^2+y^2+z^2=3xyz>=x/yz+y/xz+z/xy=3>=1/x+1/y+1/z(BĐT a+b+c>= căn ab+căn bc+ căn ca).

=>S<=3/2=>dccm(Dấu = bạn tự xét nha)