Đánh sai đề kìa :v \(\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}}\) mới đúng.
Cho \(a=b\rightarrow S=2\sqrt{2}\). Ta cm đây là gtln của S.
\(S\le\left(a+b\right)\sqrt{2\left(\frac{1}{a^2-ab+2b^2}+\frac{1}{b^2-ab+2a^2}\right)}\le2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(5a^2-6ab+5b^2\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(bình phương lên quy đồng là xong)
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
Đúng ko đấy ạ, sao em quy đồng lên ra \(20a^2b^2-16\left(a^3b+ab^3\right)+5\left(a^4+b^4\right)\)
Nhưng \(\left(a-b\right)^2\left(5a^2-6ab+5b^2\right)=5\left(a^4+b^4\right)+22a^2b^2-16\left(a^3b+ab^3\right)\)
Anh đã kiểm tra lại bằng Maple. Đúng em nhé, em thử quy đồng lại hoặc vào thống kê hỏi đáp xem ảnh.
v: thật, mù mắt, thiếu \(-2a^2b^2\), mà còn cách nào hay hơn ko a
đề lên 10 chuyên ở bà rịa - vũng tàu đúng không ?
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(S^2\le4\left(a^2+b^2\right)\left(\frac{1}{a^2-ab+2b^2}+\frac{1}{b^2-ab+2a^2}\right)=4\left(\frac{1}{1+\frac{b\left(b-a\right)}{a^2+b^2}}+\frac{1}{1+\frac{a\left(a-b\right)}{a^2+b^2}}\right)\)
Đặt \(u=\frac{b\left(b-a\right)}{a^2+b^2};v=\frac{a\left(a-b\right)}{a^2+b^2}\)
Ta có \(u+v=\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2};2uv=2\left[-\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}\right]=-\frac{2ab\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}\)
Suy ra \(2uv+u+v=\frac{\left(a-b\right)^4}{\left(a^2-b^2\right)^2}\ge0\)
Khi đó \(S^2\le4\left(\frac{1}{1+u}+\frac{1}{1+v}\right)=4\left(\frac{2+u+v}{1+u+v+uv}\right)\le4\left(\frac{2+u+v}{1+u+v-\frac{u+v}{2}}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow S\le2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)
Vậy \(Max_S=2\sqrt{2}\)khi \(a=b\)
