Question

Với a,b là các số thực thỏa mãn : (1+a)(1=b)=9/4

Hãy tìm GTNN của \(P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\)

Answer 1

Ta có : \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow a+b+ab=\frac{5}{4}\)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :

\(a^2+b^2\ge2ab\); \(2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\ge2a\); \(2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge2b\)

cộng 3 vế theo vế, ta được :

\(3\left(a^2+b^2\right)+1\ge2\left(a+b+ab\right)=\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT Min-cốp-ski,ta có :

\(P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}=\sqrt{1^2+\left(a^2\right)^2}+\sqrt{1^2+\left(b^2\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\sqrt{4+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\frac{\sqrt{17}}{2}\)

Vậy GTNN của P là \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) khi a = b = \(\frac{1}{2}\)

Answer 2

Bài gốc của nó đây Câu hỏi của Incursion_03 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath(ko hiện link thì vô tcn)

Anh Incursion đặt ẩn phụ là nguyên bài này (chuyen Hưng Yên)