Question

Với a,b là các số dương. Chứng minh rằng\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

Answer 1

Bđt cần chứng minh tương đương với:

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) 

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (Đúng)

Dấu "=" xảy ra khi a=b

Answer 2

<=> (a+b)² >= 4ab (1)

<=> a² +2ab+b² >= 4ab

<=> a² -2ab+b²>=0

<=> (a-b)²>=0 (2)

vi bat dang thuc (2) luon dung voi moi a,b nen bdt (1) duoc chung minh

Answer 3

Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si) vào:

\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{\left(a+b\right)}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{4}{a+b}^{\left(đpcm\right)}\) 

Dấu "=" xảy ra khi a =b