Bài 1:
a: Xét ΔBAE vuông tại A và ΔBHE vuông tại H có
BE chung
\(\hat{ABE}=\hat{HBE}\)
Do đó: ΔBAE=ΔBHE
b: ΔBAE=ΔBHE
=>BA=BH và EA=EH
BA=BH nên B nằm trên đường trung trực của AH(1)
EA=EH nên E nằm trên đường trung trực của AH(2)
Từ (1),(2) suy ra BE là đường trung trực của AH
c: Ta có: \(\hat{DAH}+\hat{BHA}=90^0\) (ΔDAH vuông tại D)
\(\hat{CAH}+\hat{BAH}=\hat{BAC}=90^0\)
mà \(\hat{BHA}=\hat{BAH}\) (BA=BH)
nên \(\hat{DAH}=\hat{CAH}\)
=>AH là phân giác của góc DAC
Bài 2:
a: Xét ΔBAE vuông tại A và ΔBHE vuông tại H có
BE chung
BA=BH
Do đó: ΔBAE=ΔBHE
b: ΔBAE=ΔBHE
=>EA=EH
=>ΔEAH cân tại E
c: BA=BH
=>B nằm trên đường trung trực của AH(1)
Ta có: EA=EH
=>E nằm trên đường trung trực của AH(2)
Từ (1),(2) suy ra BE là đường trung trực của AH
Bài 3:
a: Xét ΔACE vuông tại C và ΔAFE vuông tại F có
AE chung
\(\hat{CAE}=\hat{FAE}\)
Do đó: ΔACE=ΔAFE
=>AC=AF và EC=EF
Ta có: AC=AF
=>A nằm trên đường trung trực của CF(1)
Ta có: EC=EF
=>E nằm trên đường trung trực của CF(2)
Từ (1),(2) suy ra AE là đường trung trực của CF
=>AE⊥CF
b: ΔACB vuông tại C
=>\(\hat{CAB}+\hat{CBA}=90^0\)
=>\(\hat{CBA}=90^0-60^0=30^0\)
AE là phân giác của góc CAB
=>\(\hat{CAE}=\hat{EAB}=\frac12\cdot\hat{CAB}=\frac12\cdot60^0=30^0\)
Xét ΔEAB có \(\hat{EAB}=\hat{EBA}\left(=30^0\right)\)
nên ΔEAB cân tại E
ΔEAB cân tại E
mà EF là đường cao
nên F là trung điểm của AB
c: Ta có: EB=EA
EA>AC(ΔACE vuông tại C)
DO đó: EB>AC
d: Xét ΔAKB có
AD,BC là các đường cao
AD cắt BC tại E
Do đó: E là trực tâm của ΔAKB
=>KE⊥AB
mà EF⊥AB
và KE,EF có điểm chung là E
nên K,E,F thẳng hàng
=>AC,EF,BD đồng quy tại K
