Bài 5:
a: Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có
AE chung
AC=AK
Do đó: ΔACE=ΔAKE
=>\(\hat{CAE}=\hat{KAE}\)
=>AE là phân giác của góc CAB
Ta có: ΔACE=ΔAKE
=>EC=EK
mà EK<EB(ΔEKB vuông tại K)
nên EC<EB
b: Xét ΔACK có AK=AC và \(\hat{CAK}=60^0\)
nên ΔACK đều
=>\(\hat{ACK}=\hat{AKC}=\hat{KAC}=60^0\) và AK=KC=AC
Ta có: \(\hat{KCB}+\hat{KCA}=\hat{ACB}=90^0\)
\(\hat{KBC}+\hat{KAC}=90^0\) (ΔACB vuông tại C)
mà \(\hat{KCA}=\hat{KAC}\left(=60^0\right)\)
nên \(\hat{KCB}=\hat{KBC}\)
=>KC=KB
mà KA=KC
nên KB=KC=KA
=>K là trung điểm của AB
=>AB=2AK
mà AC=AK
nên AB=2AC
c: Xét ΔADB vuông tại D và ΔADG vuông tại D có
AD chung
\(\hat{DAB}=\hat{DAG}\)
Do đó: ΔADB=ΔADG
=>AB=AG
Xét ΔABG có AB=AG và \(\hat{BAG}=60^0\)
nên ΔABG đều
d: Xét ΔAGB có
AD,BC là các đường cao
AD cắt BC tại E
Do đó: E là trực tâm của ΔAGB
=>GE⊥AB
mà EK⊥AB
và GE,EK có điểm chung là E
nên G,E,K thẳng hàng
=>AC,EK,BD đồng quy
Bài 6:
a: \(\frac{A\left(x\right)}{x+1}=\frac{x^3+ax+b}{x+1}=\frac{x^3+x^2-x^2-x+\left(a+1\right)x+a+1+b-a-1}{x+1}\)
\(=x^2-x+\left(a+1\right)+\frac{b-a-1}{x+1}\)
Vì A(x) chia x+1 dư 7 nên b-a-1=7
=>b=a+1+7=a+8
\(\frac{A\left(x\right)}{x-3}=\frac{x^3+ax+b}{x-3}=\frac{x^3-3x^2+3x^2-9x+\left(a+9\right)x-3\left(a+9\right)+3\left(a+9\right)+b}{x-3}\)
\(=x^2+3x+\left(a+9\right)+\frac{3\left(a+9\right)+b}{x-3}\)
Vì A(x) chia x-3 thì dư -5 nên 3(a+9)+b=-5
=>3(a+9)+a+8=-5
=>3a+27+a+8=-5
=>4a=-5-35=-40
=>a=-10
b=a+8=-10+8=-2
