Vẽ + giải
Bài 7. Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), \( AB < AC \). Gọi \( d \) là đường thẳng đi qua trung điểm \( M \) của \( AC \) và vuông góc với \( BC \). Đường vuông góc với \( AC \) tại \( C \) cắt \( d \) tại \( E \). Gọi \( I \) là giao điểm của \( d \) và \( AB \). Chứng minh rằng \( AE \perp BM \).
Ta có: EC\(\perp\)CA
AI\(\perp\)CA
Do đó: EC//AI
Xét ΔMAI vuông tại A và ΔMCE vuông tại C có
MA=MC
\(\widehat{AMI}=\widehat{CME}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔMAI=ΔMCE
=>MI=ME
Xét ΔMAE và ΔMCI có
MA=MC
\(\widehat{AME}=\widehat{CMI}\)(hai góc đối đỉnh)
ME=MI
Do đó: ΔMAE=ΔMCI
=>\(\widehat{MAE}=\widehat{MCI}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AE//CI
Xét ΔBIC có
IM,CA là các đường cao
IM cắt CA tại M
Do đó: M là trực tâm của ΔBIC
=>BM\(\perp\)IC
mà AE//CI
nên BM\(\perp\)AE
