Vẽ + giải
Bài 5. Tam giác \( ABC \) có góc \( A \) nhọn, kẻ đường cao \( BK \) và \( CH \). Trên tia đối của tia \( BK \) lấy điểm \( E \) sao cho \( BE = AC \), trên tia đối của tia \( CH \) lấy điểm \( F \) sao cho \( CF = AB \). Chứng minh tam giác \( AEF \) vuông cân.
Bài 6. Tam giác \( ABC \) có \( \widehat{A} = 120^\circ \). Trên phân giác \( AD \) của góc \( A \) lấy điểm \( I \). Trên tia đối của tia \( AB \) lấy điểm \( F \) sao cho \( AF = AI \). Trên tia đối của tia \( AC \) lấy \( E \) sao cho \( AE = AI \). Chứng minh:
a) \( AB \) và \( AC \) lần lượt là trung trực của \( IE \) và \( IF \).
b) Tam giác \( EIF \) đều.
c) \( IA \) vuông góc với \( EF \).
Bài 5:
Ta có: \(\widehat{ACF}+\widehat{ACH}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{EBA}+\widehat{ABK}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ACH}=\widehat{ABK}\left(=90^0-\widehat{BAC}\right)\)
nên \(\widehat{ACF}=\widehat{EBA}\)
Xét ΔACF và ΔEBA có
AC=EB
\(\widehat{ACF}=\widehat{EBA}\)
CF=BA
Do đó: ΔACF=ΔEBA
=>AF=EA; \(\widehat{CAF}=\widehat{BEA};\widehat{AFC}=\widehat{EAB}\)
\(\widehat{FAE}=\widehat{FAC}+\widehat{BAC}+\widehat{EAB}=\widehat{BEA}+\widehat{BAC}+\widehat{EAB}\)
\(=\widehat{BAC}+\widehat{ABK}=90^0\)
Xét ΔAEF có AE=AF và \(\widehat{FAE}=90^0\)
nên ΔAEF vuông cân tại A
Bài 6:
a: Ta có: AD là phân giác của góc BAC
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{120^0}{2}=60^0\)(2)
Ta có: \(\widehat{BAC}+\widehat{CAF}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(\widehat{CAF}=180^0-120^0=60^0\)(1)
Ta có: \(\widehat{BAC}+\widehat{BAE}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(\widehat{BAE}=180^0-120^0=60^0\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{BAE}=\widehat{CAF}=\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)
=>AB là phân giác của góc DAE; AC là phân giác của góc DAF
Xét ΔAIE có AI=AE
nên ΔAIE cân tại A
mà AB là đường phân giác
nên AB là đường trung trực của IE
Xét ΔAIF có AI=AF
nên ΔAFI cân tại A
mà AC là đường phân giác
nên AC là đường trung trực của IF
b: AB là phân giác của góc IAE
=>\(\widehat{IAE}=2\cdot\widehat{IAB}=2\cdot60^0=120^0\)
ΔAIE cân tại A
=>\(\widehat{AIE}=\widehat{AEI}=\dfrac{180^0-\widehat{IAE}}{2}=\dfrac{180^0-120^0}{2}=30^0\)
AC là phân giác của góc FAI
=>\(\widehat{FAI}=2\cdot\widehat{IAC}=2\cdot60^0=120^0\)
ΔAIF cân tại A
=>\(\widehat{AFI}=\widehat{AIF}=\dfrac{180^0-\widehat{FAI}}{2}=\dfrac{180^0-120^0}{2}=30^0\)
Xét ΔIAE và ΔIAF có
IA chung
\(\widehat{IAE}=\widehat{IAF}\left(=120^0\right)\)
AE=AF(=AI)
Do đó: ΔIAE=ΔIAF
=>IF=IE
\(\widehat{FIE}=\widehat{FIA}+\widehat{EIA}=30^0+30^0=60^0\)
Xét ΔFIE có IF=IE và \(\widehat{FIE}=60^0\)
nên ΔFIE đều
c: Ta có: ΔIFE cân tại I
mà IA là đường phân giác
nên IA\(\perp\)FE
