vẽ + giải
Bài 3. Cho tam giác \( ABC \) vuông ở \( C \), đường cao \( CD \). Từ điểm \( M \) nằm giữa \( C \) và \( D \), ta kẻ một đường thẳng song song với \( CB \) cắt \( DB \) tại \( N \). Chứng minh \( AM \) vuông góc với \( CN \).
Bài 4. Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) có \( \widehat{A} = 120^\circ \), các đường trung trực của \( AB \) và \( AC \) cắt nhau tại \( O \), cắt cạnh \( BC \) lần lượt tại \( E \) và \( F \).
a) Chứng minh tam giác \( OAB \) đều.
b) Chứng minh \( E \) là trực tâm, trọng tâm tam giác \( OAB \) và \( F \) là trực tâm, trọng tâm tam giác \( OAC \).
Bài 3:
Ta có: NM//BC
BC\(\perp\)AC
Do đó: NM\(\perp\)AC
Xét ΔANC có
CD,NM là các đường cao
CD cắt NM tại M
Do đó: M là trực tâm của ΔANC
=>AM\(\perp\)NC
Bài 4:
a: Ta có: OE là đường trung trực của AB
=>OA=OB và EA=EB và OE\(\perp\)AB
Ta có: OF là đường trung trực của AC
=>OA=OC và FA=FC và OF\(\perp\)AC
Ta có: OA=OB
OA=OC
Do đó: OB=OC
Xét ΔAOB và ΔAOC có
AO chung
OB=OC
AB=AC
Do đó: ΔAOB=ΔAOC
=>\(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{120^0}{2}=60^0\)
Xét ΔOAB có OA=OB và \(\widehat{OAB}=60^0\)
nên ΔOAB đều
b: Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của BC
=>AO\(\perp\)BC
Xét ΔOAB có
OE,BC là các đường cao
OE cắt BC tại E
Do đó: E là trực tâm của ΔOAB
Xét ΔOAC có
CB,OF là các đường cao
CB cắt OF tại F
Do đó: F là trực tâm của ΔOAC
