\(VD3,\sqrt{x+\sqrt{x}}=y\left(x\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\ge0\\x+\sqrt{x}=y^2\end{cases}}\)
Dễ thấy x phải là số chính phương
Đặt \(x=a^2\left(a\in N\right)\)
\(\Rightarrow a^2+a=y^2\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)=y^2\)
Vì VP là số chính phương nên \(a\left(a+1\right)\)là số chính phương
Mà a và a + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp và a < a + 1
Nên a = 0 (tích 2 số nguyên liên tiếp là 1 scp thì phải có 1 số bằng 0 mà a < a + 1 nên a = 0)
Khi đó x = 0 ; y = 0
Vậy pt có nghiệm nguyên (x;y)=(0;0)
VD1
<=> \(\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{4}{5}\right)^x=1\)
+ \(x=0;1\)không thỏa mãn
+ \(x=2\)=> \(\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1\)đúng
+ \(x>2\)
=> \(\left(\frac{3}{5}\right)^x< \left(\frac{3}{5}\right)^2,\left(\frac{4}{5}\right)^x< \left(\frac{4}{5}\right)^2\)
=> \(VT< 1\)(loại)
Vậy x=2
VD2
Giả sử \(x\ge y\ge z\)do vai trò của x,y,z như nhau
=> \(2^x\ge2^y\ge2^z\)
=> \(512\le3.2^x\)
=> \(x\ge8\)
Mà \(x< 9\)do \(2^x< 512\)
=> \(x=8\)
Khi đó \(2^y+2^z=256\)
Tưởng tự \(2.2^y\ge256\)=> \(y\ge7\)
Mà \(y< 8\)do \(2^y< 256\)
=> y=7
=> z=7
Vậy \(\left(x,y,z\right)=\left(8,7,7\right)\)và các hoán vị
Em xin sửa lại VD2 ạ
Ta có \(2^x+2^y+2^z=552\)
Do vai trò x,y,z là bình đẳng như nhau nên xem x<y<z
\(\Leftrightarrow2^x\left(1+2^{y-x}+2^{z-x}\right)=2^3.3.23\)
Vì y>x,z>x nên \(1+2^{y-x}+2^{z-x}\)là số lẻ, => \(2^x=2^3\Leftrightarrow x=3\)
lúc đó \(2^y+2^z=544\Leftrightarrow2^y\left(1+2^{z-y}\right)=2^5.17\)
Do z>y nên \(1+2^{z-y}=17\)=> \(2^y=2^5\Rightarrow y=5\)
\(\Rightarrow z=9\)
Vậy nghiệm của pt là \(\left(x,y,z\right)=\left(3,5,9\right)\)và các hoán vị của nó
