Question

Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn tâm (O), vẽ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (A,B là 2 tiếp điểm). Tia MO cắt đường tròn (O) tại 2 điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và O) và cắt đoạn AB tại F.

a, Chứng minh rằng: Tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp.

b, Chứng minh rằng: MC.MD = MA² = MF.MO

Answer 1

a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAOB là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{MAC}=\widehat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\)

\(\widehat{AMC}\) chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\)

=>\(MA^2=MD\cdot MC\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó:MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của BA(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại F

Xét ΔMAO vuông tại A có AF là đường cao

nên \(MF\cdot MO=MA^2\)

=>\(MF\cdot MO=MA^2=MC\cdot MD\)